LV

b désignant la seconde période. Faisant, pour abréger,

ITC-

il viendra, en chassant ies dénominateurs.

am —

386 Noru suu la théorie

et dans cette nouvelle égalité les coefficients d’une même

exponentielle e “ devront être égaux. Or on reconnaît immédiatement que ces coefficients seront les séries .

— ce — «c

de sorte qu’en mettant pour un instant n au lieu de m pour indice dans le terme général de la seconde, on sera conduit à celte égalité, qui dèvra avoir lieu quel que soit (x : ^

Il pourra sembler difficile de tirer de là les fonctions inconnues A„ et B„ dans toute leur généralité: aussi nous borneronsnous à chercher cette solution qui s’offre d’elle-même, et qui consiste à obtenir l’égalité des séries en les rendant identiques. Nous poserons donc

et nous imaginerons que n soit exprimé en fonction de m, de manière que ces deux quantités puissent représenter en même lemps la série complète des nombres entiers. C’est ce qu’on obtiendra en faisant

k étant entier, et après avoir écrit l égalité précédente sous la forme > ;

Ajii — m B,

on irouvoi'a ainsi <

’fx — in

Mais devant satisfaire quel que soit à cette condition, on pourra poser <

fl — m — k = ni’ ,

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DfIs fonctions EL.LIPTIQUKS. 887

m' étant entièrement indépendant de m, ce qui donnera

r Anj' ^ te I L

d’où l’on voit que chaque membre est une quantité constante. Ainsi les fonctions inconnues A. et sont deux solutions de cette même équation aux différences finies

— — = consl., . .

dont l’intégrale générale est

■ik

tu.

a dépendant de la constante du second membre, et u„ devant vérifier la. condition • ■

Wni» '

Cette quantité a peut être particularisée, comme on le voit, sans restreindre la généralité du résultat, car il suffira pour la retrouver de changer dans la fonction a: en x + P; nous la supposerons égale à zéro, et nous prendrons pour A. et les valeurs suivantes :

les quantités a„ et vérifiant les conditions

— (tm I

Ainsi en faisant

m* inx

NOTE SUR LA TUéoRlE '

le •qyollenl sera l’expression d’une fonction doublement périodique, donnée par notré analyse, et il s’agit main.tcnant d’étudier de plus près ces séries remarquables auxquelles nous sommes conduit pour le numérateur et'ie dénominateur.

En premier lieu ét relativement à la convergence, si l’on suppose. Comme nous l’avons fait déjà, le module de q inférieur à l’unité, le nombre entier k qui demeure arbitraire devra évidemment être pris positif; mais cette condition admise, les deux séries considérées comme procédant suivant les puissances quadratiques de q présenteront pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable la convergence la plus rapide, et dont aucun exemple n’avait encore été donné en analyse. En second lieu et pour saisir de quelle manière se réalise la double périodicité dans le quotient, changeons x en X -I- 6, par exemple, dans le numérateur. On trouvera

ou bien

-7- am — (x-t-6)

in b

en ayant égard à la valeur de q = e “ . Mais dans le terme géliéral il est permis de remplacer m par m — k, puisque l’indice doH recevoir toutes les valeurs entières de — *> à -+-oo ; on trouve ainsi et en faisant = a>,

-T- am - * e

«le siii ie <iue la série primitive (x) se reproduit en facteur.

DES FONCTIONS EI.I.IPTIQÜF„S. SRg

Nous écrirons cette relation fondamentale sous la forme suivante :

— k — (ix + l,)

et en observant qu’elle a été obtenue sans rien supposer sur les coefficients arbitraires a„, nous y joindrons celle-ci ;

-k'- (ux-t-l.)

Par là se manifeste de la manière la plus claire à quoi tient 1a double périodicité du quotient des deux fonctions <l> (x) et n (.r). Chacune d’elles admet la période «, et lorsqu’on y change x en x -f- è, elles ne font qu’acquérir un même facteur exponentiel qui disparaît par la divisfon {*).

Bientôt on verra le rôle important que joue le nombre entier k qui introduit au numérateur et au dénominateur, /r constantes arbitraires d’après les relations • • * ,

— ^Hi >

Mais nous devons dès à présent remarquer qu’il est Impossible de satisfaire aux conditions

par d’autres fonctions uniformes entières, que par la série pré-

(*) Dans lo cas où k est un nombre' pair, on remarquera la relation suivante. Faisons ^ . / j

• i-xx

.-l-iA- î

fonction qui no diffère do ♦ (x) qu’en ce que les constantes arbitraires sont disposées dans un autre ordre; on aura

/ /, \ —^^{kx + h)

3go

NOTE SUR LA THÉORIE

cédente. Qu’on fasse en effet, pour se placer dans cette hypothèse eh vérifiant la première de ces conditions ,

ou plutôt^

J ni

il viendra, en substituant dans la seconde égalité et en comparant les coefficients d’une môme exponentielle, «„+* = a„. Avant d’aller plus loin, nous nous proposerons dans une courte digression de dire quelques mots d’une généralisation aussi remarquable qu’importante des séries que nous venons dé rencontrer.

111. — Aperçu'sitr les fonctions de plusieurs variables ■ . ■ ' à périodicité multiple.

Une fonction f (x,, x,,,. . . , x„) de n variables peut être périodique non-senlement par rapport à chaque variable consi- ' dérée isolément, mais par rapport à leur ensemble, lorsqu’elle vérifie une condition de cette forme

f (x, -f- a, , ar, , . . . , ar„ -f- a„) = f (ar, , x,,. . . , x,).

Sous ce point de vue plus général, on a d’abord Cette proposition qu’une fonction uniforme de n variables ne peut admettre plus de périodes simultanées (*). Mais il est extrêmement remarquable et c’est à M. leD'Riemann de Gôttingue qu’on doit cette belle découverte analytique, qu’à l’égard des fonctions uniformes ou bien déterminées,, les 2« périodes simultanées ne peuvent être des quantités données h priori, et indépendantes les unes des autres. *Qu’oq forme .en effet avec » périodes simultanées convenablement choisies:

b'u g^,r. ■ , gn,

(*)’ Si elle est entière, elle n’en peut admettre plus de n.

UES fonctions ELLIRTIQCES.

les n fonctions linéaires

\, = ttiXi + b<x-,-\- g, x„,

\, = a,x,-\r fh X; 4-- . • -t- g'ï ,

\„ = fl„;c, ■4-6„Xj + . i+ i’„x„.

En posant ■ .

f(Xi,X,,..., X„) =F (a-,, , JT.),

on aura une fonction transformée simprenicnt périodique par rapport à chaque variable, mais qui conservera n autres périodes simultanées, et c’est à leur égard que se manifeste dans toute sa simplicité la relation que nous voulons énoncer. Représentons-les par • . •

Al , A,, . . . , A„, . .

, 1]^ , * ■ . , fin»

La proposition de M. Riemann consiste en ce que les termes de ce tableau qui sont placés symétriquement par rapport à la diagonale A,, B„ . . . , G„, sont égaux entre eux, ou, ce qui revient au même, en ce que les fonctions linéaires '

Af .Vi "t~ A|Xj -t- . . . -4“ A, Xu , ‘ ‘ '

Bi -^^1 -P B:' X, -f* * • • 4 Bii x„ f * ■

sont les dérivées partielles d’une même forme quadratique à n indéterminées.

Voici maintenant la généralisation des séries relatives aux. fonctions à double période, et qui donnent l’expression analytique des fonctions analogues à n variables et ?.n périodes simultanées.

Représentons la forme quadratique dont il vient d’être ques-

39a NOTE SUR LA THEORIE

lion par f{x,, x,,. ■ - , x„) et posons

, le signe ^ s’étendant à toutes les valeurs entières de — ao

à 4-00 des n indices m,, tti),.. mâ, et le coefficient consunt am,, m,, . . . , m» étant assujetti à la condition de reprendre la même valeur lorsqu’on augmente du nombre efiliCr k l’un quelconque des indices. Cette fonction est évidemment périodique à l’égard de chacune des variables considérée séparément, et voici la propriété fondamentale qui la rattache aux séries elliptiques.

Désignons par a„ a,,. . ., n nombres entiers arbitraires, on aura .

2 da,

2 da„

Cette relation ne contenant pas les constantes om,, m„- • - ,1»,, une autre série n {x„ x„. . .,x,}, où ces constantes auront des déterminations différentes, donnera de môme

2 da,

i d<f 2 da,'

2 dOn)

— * > ÎT [ao, X, 1<7, r, -t- .. . -h 5> (o„ O,,...) J

^ ( X OC oc )

Il en résulte que le quotient ■ ^ représentera

OCij • • • y •Z'h)

une fonction de n variables à 2/1 périodes, n d’entre elles éga-; les à l’unité et appartenant séparément à chaque variable, les n autres étant les termes du tableau dont on a déduit la forme quadratique x,,..t, x„). Elles résultent effectivement des égalités précédentes, en y supposant successivement nuis, sauf un seul qu’on prendra égal à l’unité, les nombres entiers

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DES FONCTlüSS ELLIPTIQUES.

flj, . . . , (t„. Nous voyons aussi figurer dans les séries un entier k dont dépend le nombre des constante? arbitraires qu’elles renferment; or ce nombre sera limité et fini, lorsque la condition suivante, dont la découverte apparticn't encore" à. M. Riemann, sera remplie. . .

Soit '

* 1 plt pii t put

un système de «’ constantes arbitraifes, il sera nécessaire cl suflisant que les fonctions ,

■ , f [x, H- p„ Xj p,,.'. .,"x„ p„), ‘ V

{ (x, + x,.-h tj,',. . . , x„-hç„).

((x,-hs„ x,-t-s„..., x,-t-s.},

égalées à zéro ou, à l’infini, n’admettent qu’un nombre fini et limité de solutions qu’on ne puisse réduire les unes aux autres en ayant égard aux périodes.

C’està Gopel et à M. Rosenbaim qu’est due la première notion des séries dont nous venons de parler, et leur application • dans le cas de deux variables, à l’expression deS fonctions inverses dés intégrales de radicaux carrés de polynOmes du cinquième ou du sixième degré. M. Weierslrass, dépassant de beaucoup les résultats obtenus par ces deux illustres analystes, résolut dans toute sa généralité à l’aide des mêmes séries le problème de l’inversion des intégrales de radicaux carrés de polynômes de degré quelconque.- Après lui, en suivant une voie toute différente, M. Rieniann parvint aux mêmes résultats, et c’est dans le champ plus vaste encore des transcendantes à différentielles algébriques quelconques que ces deux grands géomètres se rencontrèrent en obtenant en même temps la solution du problème si général de rinvcrsion des intégrales de fonctions algébriques quelconques-, l’une des plus G® étl. 11. *>(3 - -

394 NOTE SUR UA TII!^.ORIE '

belles et des plus importâmes questions qui se soient' jamais offertes en analyse. ' - ' , .

, IV. Comparaison entre les expressions sous forme de

produits iafinis et de séries des fonctions 0etH. . ■

Nous venons, dans un rapide aperçu, de montrer le lien et l’analogie des séries qui donnent l’expression des. fonctions doublement périodiques à une seule variable, et de celles qui conduisent aux transcendantes abéliennes les plus générales. Mais le cas le plus simple dont nous allons nous occuper exclusivement est le seul où ait lieu une décomposition en facteurs que ne comportent aucunement Tes cas plus généraux où les séries renferment deux ou un plus grand nombre de variables. Le rapprochement de ces deux genres d’expressions se , présente de lui-même, et résulte de ces relations qui ont été précédemment données et que nous réunissons ici :

B (;r h-îK) = e (x) B (x -t- a f K') = — 0 (x) »? . ,

n(x-+-2K)— — H(x) n(x-t-2fK')=r— H(x)e • ,

H,(x-f-2K)=— I1.(xyH,(x-(-2/■K') = ^L(x)e~’*^^'^’^'■'^^ . Comme on a évidemment ' '

0 (x,-<- 4K ) = 0 (x). Il (x -t- 4 K) = H (x),

on voit que les fonctions 0 {x}, et H (x) satisfont toutes deux à cos conditions . , .

4> (x-t-2/K') = — <fr(x) .e '

DES FONCTIONS ELUPTIQUES. 390

elles fonctions e, (x) et U,(^) à celles-ci pour une raison semblable» . ’ . ^ ,

— Y(JH-iK')

* 2iK') = <î> (x) e •

Mais ce sont précisément celles que vérifie l’expression générale

m* inx

■ . ’ 4» (x) = 5* ^ ^ II* ■> ■

lorsqu’on supposant lé nomlire k égal à at, onr prend pôar périodes: ,

a^/iïL, ’

'■ ~ 'b = 9.iK'. ' •

Les constantes se réduisent alors à deux, a, et o,, et comme elles suffisent, ainsi' que nous l'avons établi, à représenter la solution de ces équations la plus générale par des ' fonctions entières, en leur attribuant des valeurs convenables, les fonctions e, (x) etH, [x) seront données par la série

m' r ff i

t-CO , I1TX

— — - r». nr m -77—

-t;aO (tm-t- 1»

Cette détermination résulte d’ailleurs immédiatement des con- ^ . ditions

on remarque en effet que les séries qui- multiplient a, et

3g6 " NOTE SUR LA THÉORIE

vérificnl rcspcclivcment la première ei la seconde, de sorte qu’on aura

, V * ni* 2m -p— . r

-f-OO

!îh,(x)=2

(im+lV , ,'îtx

en désignant par a et ^ des quantités constantes. Si l’on remplace les exponentielles par les lignes trigonométriques, et la

variables par — on obtiendra ces développements remarquables

»e, =i +2^cos2a:-|-2^‘cos4^+aç*cos6a:-^. . . ,

P H, ^^-^^^ = 2y7COsr-4-2V^ç’cos3a:-t-2v^q"COs6a:-f-. . . .

En y reinplaçant X par j: H — » on en déduira •

a e I ) ~ ' — af/CDsaar-i-aq* cos4->^ — 2 cos oæ: -I- . . . ,

P H ^ =2^(/sihar — aV^’sinSjr '-)- 2v^^”sinSa: — . . . .

D’ailleurs en ayant égard à la relation