x -m'K') = II, (ar) e

onlrouvcraqiie les deux constantesa et psont égales enlreelles. Voici donc entre les séries et les produits inflnis des relations d’identité extrêmement dignes d’jntérêt, et auxquelles bien d’autres méthodes pourraient conduire. Jacobi, le premier auteur de leur découverte, et M. Cauchy, en ont donné plusieurs qui sont tout à fait élémentaires, mais c’est surtout la suivante

DE$ FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3p7

qui appartient à M. Cauchy,' et présente ce caractère ainsi qu’on va le voir.

Considérons avec l’illustre géomètre le polynôme entier et fini

' f{z)—[i+.z)(i-hqz)[i~^q>z)... [i + q"-‘z)

— I -|- Al 2 H- , . . H“ An 3", ^

La relation identique

(i+z)<f{qz)= (i-hq"z)<f[z) ' \

donne cette suite d’égalités ; . ■ •

. ■ Aj(i — ç»)t==A. — .?")>

d’où on déduit immédiatement

Cela posé, nommons pour un instant* (a) ce que devienfiji (z)

en y remplaçant q par q', n par et z par'^;;^* Si l’on fait

<I> (a) = I -4- a.^ -+-ai ■

on trouvera aisément a,- àu moyen de Ai, et en introduisant n+ 1 pour indice, on aura cette expression

a - (i — çf’") (i-q>'^'}...{i-q^^‘*')

Le nombre entier i doit être regardé comme recevant toutes tes valeurs de — n à -+- n, mais on peut se borner par exemple aux valeurs positives, car on vérifie sans peine la relation

R«— fliî-n'

398 NOTE SFR I,A 'THEORIE

il en résulte pour <i> (^) celle forme ’ ' - ■ ' ,

ou encore »

*(z), = a„r r n-^(z-i-z-) H-îi^(z’.+ z-’)-t-';..l-

l. 9» Ûb . J /

Mais revenons à la valeur de 4>(z) sous forme de produit, et observons d’abord qu’en remplaçant q par q' et n par an dans f(z), il vient ■ ,

" * = [(r-f-2)(t+9’’*j • • •(« +9”'2)] [(« +q‘^’z) (i •hq'^'z) . . .(i H-ç^"-.’z)] ,

de sorte qu’en mettant en dernier lieu — ^ au lieu de z , on

trouvera ^

X [(i-l-vz) (i-+-<7’z)..

Or on peut écrire autrement les facteurs du premier produit, en remarquant que - ;

cela donne pour (z) cette nouvelle valeur

^i-f-<yz) (n-7»z). . . (,i-f </’"-'z).-

»E8 FONETIOK8 ElXlPTlQljES. 3^9

Telle osl la forme dérmiiLve (ki produit dé l'acletirs doninous avons te développement suivant les puissances de 2. En faisant, pour abréger, -- ,

c’est-à-dire

-^fi a„+, J

l’identité algébrique que nous venons d’obtenir s’écrira ainsr ;

[\-\-qz) (i + z)' . . . (i -h q^"-' z) . ' ’

= [i -|- ^iq[z-\-z~' ) .

ei'par suite, en faisant 3 =«“* ,

{ 1 COS 7.x -^q') [i+7q^ cos +</')...( i +?(/’"-' cos 2 jr+(/‘"“')

= X( 1+ 2a.ÿCOS2a:-+-2aif/'cos4ar-)-. . 2a„9'’’C0S2«j;).

Or on a pour n infini ' . ,

a, — iv ^ ^

et l’identité algébrique fournit l’importante propriété de la transcendante e, (x), exprimée par la relation

( I -t- 2// ços 22T -t- ) ( I 2ç’ cos 2 jr -H ) ( r + 2^‘ cos 2x-t- (y ' • j , l-f- 2 y cos 227 -ri- 2^* cos 42T + 7~q' co^^x + . . ■ ’ ■

Ce résultat nous conduit à préciser complètement là définition première que nous avons donnée des quatre fonctions

4ou .\OTK SltR i;a Tlll-ORIU

0(æ'), I!(j;[, 0, (jr). II, (,r), en IcsTcpréscntanfpar un produit de facteurs affecté d’un coefficient A resté jusqu’ici arbitraire.

, Nous ferons désormais . ■

et nous aurons de la sorte ■ . > '

: I -t- cos 2x -h'iq' C0s4'*^'+- 2^" cos6ar-{-. . . .

En partant de là et à l’aide de la relation

•0, (r'-t-fK') = H, (x) e

-T-R-fîr^-iK)

on aura ensuite ,

H, ^ =: 2 ^(/cosx-H a v'g’cos32:-|- 2 v/(/”cos5,r + .

et ces deux formules, en y changeante en x+~i donneront

/ 7.Kx\ , „

0 t, ) = I .*-2(7 cos ae 4- 2(/‘ cos ^x — 20' cos 6e -t* . . . .

î| = y, J/, y sin e — 2 y tf sin 3.r-t- 2 v^(;“sin 5e — ’ . . . .

Telles sont sous les formes de produits infinis et de série les transcendantes dont nous allons établir les propriétés.

Des deux formes principales que peuvent prendre parmi une infinité d’autres les fonctions .0, H, etc.

€e point touche à la plus belle partie de la théorie des fonctions elliptiques, à la théorie delà tiansformation, que les bornes de cette Note ne nous permettent point d’aborder. Mais, indépendamment' de leur intérêt propre, lés formules que nous allons établir et (jui donnent cette transformation spéciale des fonctions 0, H, etcJ, où l’on remplace l’une par l’autre les quantités K eu K', nous seront indispensables plus tard, et nous devons d’autant moins les omeiiro qu’il est extrême*

DES FONCTIONS ELLIPTIQDES. ^Ol

' ment facile d’y parvenir, comme on va voir. D’ailleui^ on sera mis ainsi sur la voie de la recherche analogue, et plus générale, où l’on remplace K et iK'par /nK + m't'K', «K -(- n'iK', m, m', n, a' désignant des nombres entiers, et’qui constitue le sujet même de la théorie de la transformation. Dans le cas où mn' — m'n = i, on est amené à ce' que Jacobi nomme la ..théorie des formes en nombre infini des fonctions 0, H, etc.; •mais parmi toutes ces formes, ce sont celles que nous allons ^ établir et dont nous aurons à faire usage, q^ui méritent d’être particulièrement distinguéés. Posons