ql cosôx

/7ÎK.'x\ . ,

iil — - — 1 =N (I -T 2^,C0S2a: 4- 25J cos4a:

' • — 2<y; cos 6a: 4-. ••)•

4o4 NOTE SBR LA TNÉORrK ' ,

Le principal intérêt de la seconde forme analytique qui nous est ainsi donnée par les quantités 0 (a;), n (ar), etc., consiste

en ce que l’on introduit, au lieu de > l’argument imagi- i

naire — - — En supposant K et K' réels, on a donc sous -

forme réelle et l’on peut suivre la marche des fonctions, que l’argument soit lui-même réel ou multiplié par V— i ; bientôt on en verra une application.

Propriétés fondamentales des fonctions 0 et H; définition de sinamx, cosamx, Oamx.

En employant dans ce qui précède la considération de la fonction

m' in-x T

pour le cas de A = nous avons supposé -

bz=2tK'.

Désormais nous garderons pour périodes ces deux quantités, et nous ferons par suite

-H X m* ÎTtJc

avec la condition

ce qui donnera, comme nous l’avons établi, la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières uniformes aux deux conditions ^ .

DES rosmoNs ei.eiptiqde.s. 4<>5

Cette solution générale renfermera donc pour /r = 4 P®'‘ exemple quatre constantes arbitraires, que i’on mettra en Évidence

en distinguant ces quatre formes de l'indice m, m = 4

4« -1- 2, 4” + 3 , ce qui donnera :

an’ an-g-

(2n-l-l)* ,iîTx

ou bien, pour abréger, . . *

4> (a:) =fl,4>, (x)-t-a, <I>,(x) -4- a,<r, (a:) rt, <l>3 (x). ‘

Par là on voit que dans le cas où

(ar -t- 2.K) = <r (a:),

la solution est représentée par

♦ (a;) = a.*, (a;) -f- (ar),-

et ne contient plus que deux constantes.

De même en supposant , ,

<I> (ar -I-2K) = — «l* (a;), , .

on aura avec deux constantes arbitraires seulement

<i> (ar,) = «I K, (a;) -i- «3 <I>, (a:).

Ainsi nous avons la manière la plus générale de vérifier ces

deux systèmes de conditions, savoir : " " • '

Al . . |Vf X

4> (ar-f- afK') = O (ar) e ij> (a; + 2 K) = — >I> (x),

— -jT- ik )

NOTK SCR LA.TRéORiE

Cela établi, nous remarquons qu'en éleVant au carré les deux membres des diverses équations fondament^es dé la page 394, les résultats sont précisément de la forme du premier, de ces deux systèmes. Nous en tirons cette conséquencq, qu’en désignant par a, b, etc., des constantes, on aura

Hî{x) = ot, (^) (^).

et en changeant a: en x -h K,

0j (ar) = 4>. (x) — è «t, (■*^),

H’ (.r) = c 4>„ (ar) — d <!■, (æ-).

En second lieu, sijl’on multiplie membre à membre, soit les deux premières, soit les deu\ dernières de ces mêmes équations, c’est à la forme du second système qu’on se trouve amené, par suite on a •.

- 0(x) H (ar) = .\0, (æt) -4- B<rï(x),

A et B désignant de nouvelles constantes, et cette relation donne, en y changeant ar en a; -H K, la suivante :

De là se tirent parmi bien d’autres conséquences (*), les relations algébriques et différentielles de nos fonctions.