I. — Relations algébriques, — üu module et de son

. complément.

Deux équations linéaires entre les carrés 0j, H’, ré-

sultent évidemment des expressions de ces quantités par (x) Æt'<i>, (x). L’une d’elles poura être présentée sous là forme

0' = alD (x) H- ot'HÎ (æt),

a et a' désignant des constantes que nous allons déterminer. Pour cela faisons ces deux hypothèses ar = o cl x = Kx

) Molanimcnt la iransformalion du second.ordre.

BES VOKenOMS ELUPTIQITiES. 4<>7

comme on a, d’après les formules de la page 384. H (o) = o, Hr(K) o, il viendra

IIMol

Mais on introduit au lieu de a et a' les quantités suivantes ; , , 0>(o)

^ -ëMK)’ • ^ ■ •

et comme la relation

donne

on aura

d’où

H (.r^-K) = H, (.r) II(K)=H, (o),

II' Il

/f0’(x) = H>(Æ')-+-/i'ir, (o:).

Cette première relation obtenue, la seconde en résulte en y changeant o: en x-^- iK'; si l’on emploie à cet effet les formules données p. 384, viendra, en supprimant le facteur exponentiel, .

— /f H’ [x] — — 0’ (ar) -+- A'©î (a:).

ou bien-

0’ (ar) = A'll’(x) H- A' 0j (x).

Ces deux équations représentent d’ailleurs toutes les relations algébriques possibles entre nos quatre fonctions; elles conduisent à la notion des quantités que nous avons désignées

!»OTE Sun LA TIlÉOniF.

par A ei A', et dont les racines carrées s’expriment en série de cette manière : '

1 + 29 -+- ï<7‘ -t- 2^” + aç" + . • .

V" — fie ^ ~ I -l- Ort -4- 2rt‘-l- 20’ -H 2Ç" 4-- • ■

La première, k, s’appelle le module de 0 (r), U (2:), 0, (r), II, (a:), et la seconde, A', le complément du module. Considérées par rapport à q, ou plutôt en faisant

«Ïî6i

par rapport à la variable «, ces quantités constituent un genre de fonctions analytiques entièrement nouvelles et de la plus haute importance parmi les fonctions d une seule variable. C’est principalement en algèbre, dans la théorie des équations, et en arUhmétique, dans la théorie des formes quadratiques à deux indéterminées, que la considération de ces fonctions a suggéré d’elle-même des points de vme tout nouveaux et ouvert des voies fécondes, où ont été obtenus les plus intéressants résultats. Les bornes de cette Note ne nous permettent pas d’entrer dans ce champ déjà si étendu de belles recherches, mais ce que nous dirons à l égard des fonctions 0, U, etc., servira de préparation suffisante pour lire les Mémoires spéciaux qui y sont consacrés. C est de ces fonctions en effet, étudiées à la fois par rapport à a: et w, que découle tout ce qui concerne A" et A' qui contiennent seulement u, et il ne semble pas possible, dans l’état actuel de nos connaissances en analyse, d’arriver à toutes leurs propriétés en partant uniquement de leur définition comme quotient des séries données précédemment (*).

(*) Poisson et M. Cauchy sont arrivés, par deux méthodes differentes, à cetto identité :

, i irrw iiîtu gi^tai

q—iù>U-i-3c -t-ac -)-ie -H-..;, .

= \i+-ac "-t-Jie

qui conduit à des propriétés toi.damcnlalcs des modules considérés comme

Digi' . A,

• • '• • . DES. FONCTION^ ELLIPTIQCES. 4op

On se rendra cpmf»U;, jusqu’à un certain point, de celle difficulté, en observant que k et, h' n’éxislent comme fonctions de «tqu’auianl qu’en supposant cette A'ariable imaginaire et de la forme- n ' ' ' .

P est essentiellement différent de zéro et positif. Ce sont donc véritablement dçs parties de fonctions, qui dès lors échappent à beaucoup des méthodes les plus habituellement employées. Ainsi il n’existe pas pour h et k' de développement suivant les puissances de <« , et si l’on fait.»» = w, H- /i pour pouvoir employer la série de Taylor, voici encore les circonstances particulières qui viennent s’offrir. Les quantités k et /r' sont déter- . minables par la résolution d'une équation numérique, pour une infinité de valeurs de », telles que

A, B, C étant entiers, et B essentiellement positif^ mais si . remploi de ces valeurs initiales, en faisant » = », -f- /i, donne pour premier terme des séries une simple irrationnelle numé> .rique, les termes suivants sont nécessairement des transcen--

dantes. Ainsi par exemple, pour », = i, on aura k = —n

k'=,-^‘> et en prenant a = i+h, ce sera l’intégrale V2

r » qui entrera dans tous les coefficients des déve-

loppements de k et td, suivant les puissarices croissantes de h.

. On voit par la. combien on est éloigné des séries qui définissent . les transcendantes simples, où les coefficients sont toujours cdmmensurables. Mais sans nous étendre plus longuement làdejsus, et pour vevenir à ce qui concerne notre sujet, nous

fonction de u. Mais il n*est possible de tirer do Ih que la transformation pour le prcnûer ofdre, et aucune autre voie pour parvenir aux équations modulaires no s'est encore offerte quë celle qui a ctë donnée par les fondateurs de la théorie dos. fonctions* elliptiques. -* •

6* cd. II.

4lO NOTE Sl’R I.A TnfoRIK ^ " '

allons jusiificr les d«jnominations tle môclule ci de sOn côinplémeni, données à h el h', en démontrant celle égalité - /.

Les deuy relations que nous avons obtenue^ sont',, •

/,• 0^ (a-) = II» (j?)' + /.■' ■ .

■Faisons dans la seconde x = K, après avoir divisé les, deuv tncmbrcs par e’ (a:), .en remarquant qu’on a' ’

et par suite • •• • .

on trouvera précisément l’égalité qu’il fallait démontrer.

■ Il en résulte cette relation entre les séries infinies,

‘ (2 V '7 -4- 2- v'v’ + 2 + ■}. V </‘VHr . .)* .

-f- ( 1 — nq + 7.q' ■itj^ + iq'* — •••)*

= {1+ 2</+ -(- 25'' + aç."'4-.’. .)*, • ,

qu’il est extrêmement facile d’établir directement .à l’aide des propositions arithmétiques connues sur la décomposition dèS ' nombres entiers en quatre carrés. Mais laissant encore de.cété ces questions, nous allons compléter ce qui concerne la définition même de /r et h' dont nous avbns obtenu les racipeS carrées comme fonctions uniformes et bien déterminées tlé '&>.* Jacobi a fait voir que les racines quatrièmes.possèdent la même propriété en donnant les formules remarquables que nouç réunissons ici: • . .

\fÿ.\/q

•' '".I • ’ ' i't'i V "V; iJ.-'

, ' • , DES Fdscrwm "• - • 41 1 a.

Les lois dç.c^.sçri(rs.son.l doïrrtiées Bàr ççs formules ou le' • »

..srgne > s’étend à toutes lés. valeurs de. l’indice n ,,*

‘ à H- ® savoir ; . . ^ ’ '

. En^econd lieu,- ol pour lé.cpmpJérpVftt ilu mo^tlulej oh' av ' . . ; ' •

' •-■• •' ■■ ' • 'a -1, .'• Tt •’■ -j ;•.■■

■ i'--' '.v i . ■.■V. is-.' ’

/{ia “ WtK SUR'.M THÉORIF.*' '• ■

'ou en nKîilani en évidçnce les ternies giifnc|*üu^ - •

. n’ -l-n 3n’-hn

ut 5- U

La qUanlitci^Âr qui joné aussi un i-Ôle important est donnée p^ledcvcloppcmépt de'forine semblabVe aux precedents:

: --il- ' .'•■

. h: - Définition <f« jin*^ (i)» fif>sanr(af), Aamx. ’ Équations différentielles: ... ^ ; .

- Posons

I H (ar)‘ '

. p'^ÿl ;

. V a tw’.

^ jt.

RE-<i bluptiqves. - . '{■'f.'

et" qui sotil.

■• homogènes par rapport agx cjuaU'e fonctions donnerogit : •

La prerhière.conduit à représenter « par un sinus, V par \ui'.

• cosinus; c’est ce qu’a "fait JacohiT dl .en adoptant les noiafions ,• • de l’illustre géomètre, rious poserons ..‘‘v . ■ .

, ■ . • . , . M = sîn anir(.j?), ^ ‘ ,V

... ■ >' c = cos am (i), • J

‘ iâin (■.?■), , %, . <

' ' Le sinôs, le cosinus et le‘iS de,l’an>plitutle de la varlablei .t;' seront ainsi lès trois ronctions'doubféiHènt périodiq^ues £o»diP- > mentales. Nous A'oiçj nmdnés mainierumi QU point eb quelque ■*'. ^ sorte le plus* essenttél de la tlVéqrié,j^r l’on a pqù^bnt dé ics, ■ • ‘ •; J dc(lnff par trois équations différenliellêsrs 'i- i

. . .Considérons à cercffèV la dérivée xlc’.ùj à savoir^ W •

Cette dérivée comme la fonction .ellq-mèipéj admet la pe- ^ ' • - riode afK'^el ne Jait què changer'd.ç signerlorsqu’on changé X en X -f' aK ; ayant do'né pour le numérateur la valeur

‘ on tirera immédiatement des relatious ' .. •• ,

'.’V . V-/'--. éMf ).*'

. ' ' ' ■ ■ 0.M •*■ 2 f,Kî ) = 0’ (jt V'.' ' ^ ■■■ Ç’’ '■ ' ■ .

■ hùxquoilcs'donpë Heu le fténominatêur,>*cUes-cj j .• . - .

."OJgilir;

‘"rv,' J’ C V' V ‘ . ■ •' .■ •’' 'r '

f*- ' v4‘4 • NOTK ÜOB- I^' TlltoR(É> '

si /■ ■■• ■ . -. - * ’■' '-i. - ■ • ■ ■“ •'

• *i 4)r;;<l’a})fis jCc'qtii ^ cld j^rçcéHepinîem fp.'4o5 ev 4^6)»

•' • • ' '»»■'. • . ••’ .*• , f. •* • -J*.»./— i L — ïi. V >•’ • ê • s.

L >’ •' ■ •: - ■'■ 'H i ^ I ■2’. ( î 4-’ rtj Æ*) jii.( JP )' ■+■ m, 0, (5) H , ( )

. ,y 'w<!l «Il désigrivit (les cotistantiis-. ‘Observant donc qu&Kchang

, a'** '■ *•' ** •-■ . ' Utu ' ^ ‘ '

I - . ; /*..% : ne srgn^^, avec x-e^ qne par suilC;^ e?l^ une /0fTciion paire,

Z - ^ *1“.^ parité* ipipairé w-4r(,x^Hf4i?}-<l0ii.Ü!SparaUre';

et Tinj a'siiupienieiyi'' . ’

t' *•*< . ” ^ * "\' iS'^ .. . ' . * ô *. •

l Kn'divisâiH phç . ’. , - . •

<■5^ • •' ' ■• ' V' '■/rif (/A" r".- ■<• '•■ , 'f *■#.•.'• ■- ■»•»

c^siaûj^fi/çprfïsen'te; puisque la fonèticiri ne g'évànoid^ ■;■

-aVe(^ j.dâdintlte e, Hniite qui ■ ' ■

• •• ■ •Vn- ■ . -a? • , . '

?'.* »1'* t ' li •' ■ * 'i* *. s ^ ‘ * J

- \ -DES-FpmrUQNS eixiptiquhs.

iiÔuà ferons pour «r = o , ,

- , ■' L; g' 7g(‘ —■ </MM‘

ou bien • ' f . ^

Ainsi, eu .admettant que its quantités K et K' vérifieut celle conation-, nous aurons . ' .

" du

= vw

c’est, la première dès relations différentielles que nous vou- Hoiis .établie. Les autres en déçoulcnt à l’aide des équations

• • ■ /r’.«’+ II'’— J,.

et sont • . - . .. . , •

I div , ,

dx

!.1*kis‘‘gènéraleineni on aura, ' ‘ • '

■ ■■ • dx^‘^ ( A, -K A , K’ -t- A,k‘ H + A„m»" ) U,

lès coefficients étant* des fonctions entières de A’. On en dé- ■duil ce développement qui subsiste entre les limites — i et + 1 üie la variable, et ou l’on a fait

u^x — aA‘a ^ +.4A‘M“’ “H 3 ) ■

.•.ÎX8/(tU’ + 33a) -t-iù/.‘(a’ + 3o6»»-n8i)) . /

,. ji-ii

r 'rV"3ïyi‘(jst‘ -+• 27(j{iït.’-(-828<)à) j- -l- . . . .

4l6 NOTE SUR LA TUERIE' •

On trouve de même • . ' ■ ' ' *

** = I — + { I + 4 /<■ ’ ) 77^37^ - { I + 4 4 /> ’ + « 6 /* *' ) TT^TTJ

+ (i+ 4o8fr’ -t-giaA* ^ ^ .

+ A-'(64~l-9i2A'’ + 4<>8/f‘ + Af‘) •••^^ g ^. . . . . -

M^Gudermanna fait' la remarque qu’on pouvait poser, aux termes près du cinquième ordre,

- sin (xiji-h l,‘) ■

et ' * • ■

e=:COSiC, w = cos IfX,- '■••

en négligèant seulement ce qu’on'vérifiéra ssntsiteifreÿar -

le développement. ,

Voici donc une nouvelle et complète déOnUion dei -trois . fonctions doublement périodiques, en joignant aux équàdons ’i différentielles lés valeurs initiales «=o? v = r, <v î=; i poun.- '' = O. En particulier, la fonction sin am (ar) séra déterminéb- * en posant •

r“ du • : ^

Jo V(i — «’)(i-Ar*«’) ’ •

ci c’est cette intégrale, ou plus généralement > .

; -■ ■ ■■■' - ' ^ F(u)du' • . ^ ,

en désignant par F(«) une' fonction rationnelle, dont l’elude'a •' ouvert la voie pour parvenir aux fonctions elliptiques. On re-^ connaît ainsi l’origine de cette expression de fonctions inverses, dont nous avons plusieurs fois fait usage» puisque « est la' ■ fonction inverse de l’intégrale dont la valeur est x, et l’on peut • * juger quel long enchaînement d’idées et quels efforts il a CUlif i’ pour parvenir de là aux notions de fonctions doublement p"ériodiques et aux séries qui nous ont servi de point do départ»

Digiti?e<j hy Ç îoôgle

’.;-,0ES FON<^i0^s - ErxiPTfQi;Ks. •• ^4'7 . À."

Mais «ë long travail a ëlé fëeOnd pour la. SGÎcnçé; c’est C;Qmm&\ ' ;cbns^quetices «Te ces recherches quc'nous ont étë acqüiseâ.--’^ .

; plosieurs notions analy.liquds ëntièrëmeni fohdàitiêniâres; et- •'

' dn paritculior ce que nous, savons sur je mode même d’exis-- \ '•

tence- des fonctions intégrales. ’Apcès avoir trouvé, par exèm- ; ple„ que sin am / ar )■ ne change- pas lorsqu’on changé en.’’'., ‘

'■■il + 2m'ïK',,w et rn' àtanï dcç nombres entiers, on a., : • ' "dû nécessairement rechercher dans l’intégrale ^ . ' ; % . . • ;

■la jmlson de cettë sotte d’indétërminatiôatfm'donhd nais^nce' •:

O lapériodÎGitédîyüsla fonàioft inverse, 'MrCauChy,*flaBs.son ' . ’ Mëmoiresurle^ Intégrales pri.ses eniro'.des IKhitésimàginàîreï^'/ * ; . • • avait donné les pritScipe^essepliels’de celle étudé si ipiçor-'. ’ • •

' jimtetclle a été. ’comjpléleRi.ent' faite par M. Puiseux, dans un excellent travail lnti\\ûèi Beçfiérche$ jntn {ê* fonctions algébri- *V '-

■■^p<cj^(Jobrrtaf ’de ^J.iLiimÿille, anhée- i85oj, et auquel nous ■* ' •ffspvayoïw le lecteur.' ü'n atrtre' résultat ençôre consiste dans ■

,. <e sens plus coînp|l,et elplud approHuidU que l’on, a été con- I doit à. auacber 'en analyse à l’expressibri mérite' de fonction,

■ en reconnaissant et én caractérisant entré les divejps.itiodes de ’ v .

. .dépendance de "deux quanütésdes'xlislmciipn^ essentielles, et v': ' .

. donpies recherches auxquelles a éonrié liea'kfthéorle des*

■ fonctions ellipliques;ont montré toute iimporiancé. Aiilsi'ont. " . -y . étépVopbséésces questions dont i’objetest de recotu^îtré dans - ,

'< la déflititiôn même d’jane fonetjon," donnée,, par exeihple, par . <•/ •

. • ùne éqüaiion jdifférentieliè, si* elle'^est op non^ ék , • "

. * jdphj fe.prèm’iér cas gf elle .fefet éhtièrê* ou fraçtipnrraice.". Les-

rcnlîelles du pr^nievordpê,^ ^ ‘ ,* 'V

(^*) Àll);c{ueiûe Vor3Ufideteu|igciP und^lIuK^tuitk'Mur die .Untc|^udiiui;f >7^11 < * a! •

FuDctieüüiitiijbçscbchi^kt vcrauiWrifchorCrosàcii, otc.; ^ * .*?• . '*•

XOTE suk I.A ^irHÉouiE- '

IIL— Pes qvUriliiét'Kht:K'

■ P“*’i*<'ularisiïTii les ■ : I^ujUô la limila liü l’appdiri

loa n i è im; à roniîr (;/(^â I o!^ {' poui^i- |îifi.njmeijt 4)éiU,‘..

nous sommes iiarvènos à l'èxpresSioh

g'ço^duit à wn6'cons<HiMen(^lffii^rt^,»e;xjbs^

ep; upeosarti ir.^ K et par qdnscquent sin,am ( Kj = i 7* f dans » express^ en P âinam(il,.on ■'

■' . f ijjjiÿ )(•« '■+; q'-n ■ h-v?.;: . > w ;;

ôiyribiieridra d'9>drd;

y vS ;jfÿ + W*i( I

» ' . ,* 1 • ^ .* *• * • •» • *n p“ trouYe-qne sin amŸK.) =i

■♦■* .* •>-■ «■ .'. ;•. '• ■ '. / ; füj>jjt4iof rfiifüi^iô'iYV»

= t ^la roTiDülcaln amj;!}'

ri M> v'r « • •

. '^■ 'ntssi wsfrrioss^ blliptiquks.

* • 'èljcûî.rom^rf^

~{i +q^){i -irq')- ■• ■

• . on vefra*ious les dénominateurs disparaître dans la valeur ü<5; ' ■*. • .•'

.. . ^^^■■qüi devieridrâ ainsi ' ' ■ ■•’•. J

. Cela.étàniû si J’on pote x'=a dans la formule préc6demmen.t.'-^ . ; • •• ‘ ; , ‘

. 'démcmifé.6;* .,'V> . •' , -ç . j- : .-

■- • ’®,' .4- j’fl éosa .!• 4- 2 </' cos4 .T' 4- 2 cos6 J? 4-'.

'‘- y. ' '4*.(r4'2«/cps2a:4-9’)i*-i'2?’ C0S2ar + ^*)

... .H viendra ‘ . ■ . . . i- 4. »

. . ’d’oîi' ce. résultat, qui est dlünc grande importance dans la théorie^ . • ,

' dcii fqivctionsèlirptiques, •' ' J.. ’ "ÿ

■• 'viJn^on-dçtl^iit, en ayàru éçatd'aûx'xiqaations • • ,

••...»■ 4 ■!'•': . .-V •- A* Vif? ^ " v/-^

. •• les rféir«;iuivantês :•. .t*'-' -/"'it .'> * J - 1' 4 ' • ' • • ' *T:. '-•■ '• .

V •.'. . ■ ’v- • VN - - ^

•" • •* # .'r; 1- V« ..• fl ». *. •' .. i , - V - I ' ^

- - NOTÉ 8ITR-' r.A THéoKfK ’ .^ x - . ■

• 7. . ' • ' Cestla seule qHîuuilé K qui <lonne iidu à des.rclalîfyns de

. . .* , • céue fornjie; I9 qi^aïuité K', cnlrant d’uiie manière différente

- • v’ . . . dans l’expression ^ = e ne parait pas susceptible de devej ■ .loppements analogues en série. Mais toutes deux' s'expriment .

. ^ -d’une manière parfaitement semblable à Kaide des^ttiodules

: h ex !(' par ces intégrales définies ' ' ■ - ' ' t

■ • -'V/ r* du ■ • y’’ . \dn • -

■ .A.' r ■ comme nous allonslc démontrer. ' ' ••• ‘ ' ' '

•- ..Préctulemmenl nousavonsd("jàfait-voirquc:sinam(K)=: 11

!' '. • : ” ^remarquons maintenant qu’en faisant fi dans les relations

■ - .-■ ‘ . él en divisant membre à membre, jl viendra ■" • . i . , . ' ' • . .

■ ' * H.( K -H-'t K' j Æf ( li j ^ ^ ,N. . -y y

r ■ ‘ • .. VV ! ■'.. • ‘ 0 (lîTfTK^j ~ ïïTlq. • vv.. >• • .

■ -y . / -yy ■

...... par cmiséquenl-, 8in*amj^Eî^.-^;= — ; — ^ aura la valeur .7 pour \

i Æ- =f fi + ^ K'. Ajain donc . J'-*. '■ , ■

• ~ ■ f i'*"'-- ' ' ■ àu ■ "'*■■ '• ' ■

. • -• a7=- /• T, :: ,'r.sp:=t, w-. ,

r,-: -Jo v ^ T

^ nous en conclurons què ’,''j, .v''\ .* * . • l '' ;

■ * jr. ' ir' - ^ {in •

•. ••• >ri V • • .r '

Dh' -L'ca I1V r'A'o^Ic

; ■ DES FONCTIONS ELLII^IQUES . , ' 4.2.*; ■

• etpar suite, crt rdranehant mombfc à membre, . • ' •; '! ■ ' v

■ ' ‘ ; I • ‘ ;k' ri-’ "• * ' - ■" ■•"r/- •’

Or en' faisant ^ J - ' : : ' ‘ V-

• eette dernière intégrale'/deviendra I / •-'■■■ -■;: • '' ■ ■-• . <

• c« qui donne le résultat annoncé. ‘ i-.- • ■ '

Mais Cc.quç nous^venons de d'ire, raisse subslstér.unc la’T, »• j ’i . cime importaétew nous sommes ça effet à l’un de ees'poiius ’ \ -

(le la' tlicorie lies fonctroris ’elliptiques' qiii appellent de nou? ^

. veltes recherches pdur être aussi complélçirt'ent traités qu’otî-V ' peut le désirer. En passant de l’équation différentielle ;■

fl la relation . • .'y. '• . ' •

. . r“. .. dû ' ‘ . cv ■

onr laisseabsolitmentarbitrairé la loi de süccessiondes valeurs;.

■ de la variable « dans rintégrale, de sOriç que les relations r - . . 'precedentes ‘ , • • • .

* . ' ~dti

■ n’auront un sens entièrement ^détenninc qu’en dérmissant.lc '■ '

' cheinin ( *■) décrit par la quantité u =± sln âni ( ^), lorsque x va-

{*)'Wot« supposons que les nulloji» fôiHlajnonlaîCîi ducs h M. Cauchy snr ta • . .

* rcpro»ontalîon ^çQinctfiquo des etVnr les îni«'[îrali‘s prises lè

d’une courbe, sont connues du lecteur.* ' ~ ^

■ * ' - '4?? , l»«Te SCR' I.A' THÉORIE,. T ; ^ V . r'

V' r ^ V =V l ie rfé, zéro à K, ‘puis de K à cofnmëJ’afguniopi’A' .

varier entre ces liniilè^sûivanvùne furrniiè <j[Clpis,'i]-.folij

-v. •résulicn\,, donnent tous au^pvtnt 'do.vùe dje- Viniégraifon -jMij

' r- •’3.PP®rt à-K ic’mème résultat. C’jÈst SCTdénifrntrdàiis'Je cap'oiistij^oste, K, K', et par,^ite.7r, des- qna^iiés' récites, ef

‘ d^üne\taanléfré'contiBue,-‘,(]tij5 rôn’peuti ■

. .*• * • V' V.,irancr la qiKîstion..qrte 11005 avons \>c(sée,- '•;; "• : ■

’^Etd'abordop -voit que,n =;; sHrarin'f r£t est réelparlell^vè- - , • loppeméni ; •.

v.v sinamf^*^ = ?. y'q siri < — 7,^pk\n sin 5 / ^v. . ■

V ■*■ 7 . 7 — 2^eos?./+\>. g’'ço^i — ,f. .

. . ■ / v' ■ Tjl’ailleiirs.eiUre Tes liriiités zéro.et K Ja-.dér4véé . V- . 1. *

, " ■ ‘ ■■ ' . ; ilolU la. valeur initiale est runil^^ra toujours -pqsiljNfe. Elk* t • •• • /.lifté peut effectivement s|aiinu}er qm’en.fiaisa'nl*^^; .-v ■ \ . .

w*': . , IIi('a:')=o; '''é-

[•■ ■ ■ ■ é^ixy=:o,‘ ■ ' ■

f ~ /• . ’ «ç’esl-à-dirp { iiojiêa p. 384 . . . . . ‘ ; ‘ v *"

• . ■ -/ ‘ ,.r = (am + i)K<-H2ot'iK-', ‘ î

j y ’ . 1 et aucune de ces racines n’est .comprfee'dans l’intervalle cob-.,

‘ ■ sidéré, la valeur x^= K se trouvant' précisépnenl fa limite supé- •

7/ .*/ . riçuréde cet teierYaltc. Nous coiiclucOns de là que f croissatu

^ )?VlItfirriAAl«£ «.'■« UIkV«4MW:>u ' * ^ "A ’

*. ■ , pi\ |H)ucrsLéçflre . . -> ^

, . . . Sin àm (i . ■

. ; \e;i«^vimrodu1S3ai foîrettorts- ' .'^r. - . •/'•> '

'•■- ■■. . ' :• • ■••;: >••;■■ v>^\Vt-r:

.. '" ' ' •sinam (-K 2ijLü\ —',!]; ' A -’>• ’i : -^. .-•l 1

V •' •' . - .•-4- ' — ^g» <*-««;»* rf-? gj ,\ ;■ (.

V* /' f + 2^uCas 2T -;f- 2,^J ., ^ /■' .•■ ■ •

• ■ '. :-. ■• - . --'^ •'/■ .; ■'•^v;' . ■■:y-:\.‘, r}:yZ,y:y^

ce qui, est ^cofd onô.quffttiité-rëéTlê ( *). Qn- conclura comni^ ^ ■ :’. ' .'î ^ ^ Kfeeore .qyé la dérivée par.'Capport à t, qui est nüHe.aux ■ .

’ ..’ ' ',.. Q »e. rappçUe que, ?.:= » - ■, Vv^ ’■'•,. • ' .. ;.'f

.NOTE SUR -LA' t'riéOBIE

deux jjtnilés r = o;- ^ i né peut .s’évanouir dans leur inter'»

^Vallev de sorte que c’esi.cncore <ians le sens ordinaire -d’un*, intégration reciilignfi que Ton a réqwàtlqn :. V , • . ’

■‘d’du yous avons tiré .w j ‘v , ’ - • ;

' .'- YJ'iz'Ç ^ ^ ‘ ■ • ' • * ’

A-va’nt do quitter Ce sujet cl afhi d'en montrer la difTiculté lorsque K^JK' et fr>sohi rmagindirés, j^e .rêlnàfquera* que fa stlp- • position qui' yieni'lérplus nalurelle.nienl'à J’espHi; qu’on peut ^ faire l^ricr ,a:pat exemple de o à K', 'suivant une Joi tolfe qUe u 'soit cop&tamnrtént réel, rte laurüfi être admise. Autrement dit,

U est impoæJble.en gcnièral què'dans l'eipression ■

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‘ J’integralc soit toujours rectiligne,' eoiiKtie nousj’avons trouvé .

■ toUtàJ'heure. .r- ' *• . i. - ‘ ' . •

' ;Eff€ctlireniem,'^ieniV--'' .\ •* •. " . •• . ' ■

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.6, b, -.(y, f/,' étant dos-nOinbres entiers qui vérifient ces e on- ‘ dillôhs ■ . '•