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En posant
DES FONCTIONS ELLIPTIQCES.
on aura
sinam
sin X 2 ÿ'^sin 3x -t- ay' ^’^sin 5a-. . .
I — ï^cosaa: 4- ?.;^‘cos4a:^*— 2^c,os6a: + . . . ’
ce qui est la même expression analytique (*), au signe près en 3t et Df', que
/ 7.Kx,\ I 7. J^^sinx — 2y9''sin3ar-42 J i7“sin5a: . . .
sinam ^ ■ j i — 2çcos2x-f-7.ÿ'cos4x — 2^'’cos3x4-7 . .
en K et K'. On en conclura que DC seça donné comme K par
l’intégrale f .- -• Or, en supposant 6 diffé-
Jo
rent de o, la valeur imaginaire
DC = nK “4“ 5/ K’,
ne pourra évidemment résulter que d’une intégrale curviligne. Mais voici un résultat important et qui subsiste quel que soit le mode d’intégration : c’est que les quantités K et K' vérifient la même équation linéaire du second ordre
— — 3/r’)^. — /fz = o.
dont l’intégrale avec deux constantes arbitraires G et G' est par suite
a=GK-(-G'K'. ■ , ^
(*) Les relations analogues relativement à cos am (x) et A am(x) sont
' /T a'/%osx4-a\/ ^»co83x-4-a\/^“cos5x-é...,
cosam^ T J~^ V *'i— a^cos2x-i-al^cos4x— a^*cosGx-(-...
(a DC x\ ~ 1-1- a 3cosaa^ -i- a cos4x -t- a9*cos6x -i-
^ / I — a'^cosax -1- a^cos4 Jf — a!^*cos6x-f- . ..
on on déduit, en sopposantx= o, ce qui concerne^ ct^*' lorsqu'on y chan|^ K et K' en DC et DC'. - *
6*ed. il. :
4a6 N«rrE sur la théorie
Celle équalion conduK au développement de K el K' sous celte forme : soient
Cl k. la sommé des n premiers termes de celle suite, on aura K=-k. • . . .
k' = ,0g (t - - j2^ (k - h.) - 525.lk.-k.) - . . . .
On en déduit aussi celte propriété remarquable, à laqueHc nous parviendrons plus loin par une autre voie
KJ' JK' = -
en'faisani
1,^11^ du , It^ii^du •
Addition des arguments. Théorème d’Abel.
C’est Euler qui a donné le premier les formules pour exprimer sin am(rt-4-,A), cos am(a-{-b), Aa!n(« + />), au moyen des fonctions semblables relatives aux arguments a el b, et ceüe importante découverte a été le point de départ el la base des travaux qui ont fondé la théorie des fonctions elliptiques, de même à peu près qu’en trigonométrie élémentaire on est parvenu aux propriétés analytiques du sinus el du cosinus en parlant des relations qui donnent le sinus el le cosinus de la somme de deux arcs, en fonction des sinus et cosinus de ces arcs. L’illustre analyste, par une çorle de divination restée célèbre dans riiislüiré de la science, obtint sous forme algébrique l’intégrale générale-de l’équation
du
du'
' DES FONCTIONS ÊCLIPTIQIIES.
Or ce résultat revieiU exactement à' l’expression du sinus d’amplitude de la somme de deux arguments, comme nous allons 1^ montrer. Effectivement, en désignant par G la constante Arbitraire, l’intégrale est
— m’’ ) ( r — fr’w't) \/( I — m’)(i —
Mais si Fon fait
■ u=^inam«, • • .
•M' = sinama', • .y ,i
l'équation (i), réduite à la forme - ■' “
da da'— o,‘ .
donne immédiatement
Voici donc, sous deux formes différentes, Pintégrale d'une même équation différentielle, et on devra passer de l’une à l’autre'en établissant la relation qui lie les deux constantes arbitraires. Je remarque à cet effet que c est évidemment la valeur de a pour a'=;o,'et si l’on fait semblablement a' c= o et par suite u’ = o dans l’équation (a), elle donne c = « = sinama. La relation entre les eonstîintes est donc
C =sin amc. ' , ‘ .
Ainsi la valeur de G en u et «' donne précisément la détermination de sin am (a a') en fonction algébrique de sia am« et sinama'. Lagéométrie fournitaussi plusieurs méthodes extrêmement intéressantes pour parvenir àce môme résultat; ne pouvant ici les indiquer, nous nous bornons à donner sous sa forme analytique si remarquable le théorème découvert par Abel pour l’addition d’un nombre quefeonque d’arguments. .
