Théorème d' Abel
Les expressions de sin amar, cosamx, iama- par o(.r), etc., fournissent les relations suivantes^qui’établisseni
4a8 \oTF. SCR i.A TnÉoRie
la double périodicité de ces fonctions, savoir : ■
J I sinani(ar -H aK) =— sinama:,
I sinam(a;-|- 2iK] =-t-sinam,r; ^
JJ I cosam(:c-t- aK) = — cosatna:,
I cosam (a: -i- a J K') = — cosamar;-'’
!Aam (ar aK) = -t- Aama:,
dam (a: -t- aïK') = — Aamar. ^
Or on remarque que les trois fonctions se reproduisent dans le second membre au signe près, de sorte que les diverses combinaisons deux à deux de ces signes, pour l’une et l’autre période, forment pour chacune d’elles un caractère spécial et qui lie entre elles, d’une certaine manière, toutes les/onctions plus générales, composées de sinama:, cosama:, Aama:, qui à l’égard des périodes satisferont aux mômes relations. Ainsi, en désignant par F (a:) et/(a? ) deux polynômes entiers en’x respectivement des degrés n et n — i, et faisant .
J \ , V ’ f/sinamx /
=sinamxF (sin“ara:p) H x
I \ TM . V cosam a: , ,
• ç,(ar) =cosama-F(cos*amar)H ^ /(sin’amar).
. y,(a:)i= Aaraa:F(A’amx)
on aura, comme précédemment,
rfAama:-, .
-^/(^•ama:).
^(ar+aK) =— y,(ar).
If, (ar -4- 2jK) = — 7,{a:); y,(a;+2R) =-4-Ÿi(a;), (pj(ar + 2tk')= — y,(x^.
Ce sont CCS diverses expressions qui figurent dans le tbéo-, rème que nous allons établir, ou plutôt encore la suivante qui possède le caractère résultant de la quatrième combinai-
rfff-'’
Digifeed by Co«
, DES FOSCriOSS ELLIPTIQUES. 4>9
^ son possible des deux signes dans le second membre, savoir ; !p(j?-4-aK) =-4-ç(,r), "
En désignant par F(jt) et F,(x) des polynômes respectivement de degré n ei n — 2, (f{x) sera représenté de cette manière, savoir ;
Z désignant indifféremment sinama;, cosamx, ou aam^r. Mais, soit pour fixer les idées, z = sinam\r, et afin de mettre en évidence dans ç(ar) le numérateur et le dénominateur,
I ÏUx)
employons l’expression
qui conduira évidein-
ment au dénominateur 0 "(x), de sorte qu’on pourra écrire
Cela posé, ayant
la relation
donne immédiatement, en ayant égard à ce que ^{x) admet les périodes 2 K, 21 K', ces deux conditions
Or on peut satisfaire à ces relations, et de la manière la pins générale, en n’employant, bien entendu, que des expressions entières, si l’on fait, en désignant par A un facteur constant,
i|>(x) = AII(x — a,) Il(x a,). . .U(x — Xi„).
43o NOTE SUR LA THÉORIE
Erfeotivemeni, on vériticra, à l’aide dçs équations '•
. H(jf^a + 3.»K')= — H(x — a)e ^
qu’il suffit pour cela de poser la cçndilioh
+ aj . . .+ «j„ = O.
Les quantités a,, . . aj„, restent donc arbitraires, ainsi fque le facteur constant A, et il est aisé d’établir que la fonction entière, la plus générale qui satisfait aux relations (i), ne contient pareillement que,2.n constantes arbitraires.
Soit en effet ^ -
ou plutôt
la seconde des relations (i) donnera là condition
ce qui ne laisse subsister dans l’expression de 4'(a:) que les an c-onstantes n,, a, , . . . , .
Nous pouvons ainsi poser
AH(a: — a,)H(jr — *, — «,„)
et cette équation remarquable aura également lieu en prenant poqr f(x) la fonction déduite de
en faisant Z = cosamx et a = Aamx.
‘w Maintenant, une analyse toute semblable donnera, à l’égard des trois fonctions <fi(x), f,(x), ys(x), les théorèmes suivants
DBS FONCTIONS EM.IPTIQl'ES.
fÀ^)
LJ dépignenl
des constantes.
savoir : -
. .Il(x —
A,Hi(x-
• . 1I| ( -ï’ Ctia+i )
-a, )Hi(x -.-a,).
«’“+'tx)
el l’on aura encore entre les quantités a la relation
' *1 *1 -f- . . . -f^aja+i = O.
C’est dans la conséquence que iioüs allons en déduire que consiste, à proprement parler, le théorème d’Abel.
Nous partirons à cet effet des équations relatives à i)i(x).et y,(x)où figure la fonction H(x) qui s’annule avec x et met ainsi en évidence les racines des équations^ ^(x) ='o, <p, (x) == o. En particulier, considérons la fonction <p(x),'où trois cas différents se présentent et correspondent à
a = sinamx, z = cosamx,
" j=rtamx.
Les polynômes F et F, introduisant a/t constantes, on pourra, aydnt pris égal à l’unité le coefficient de a“, déterminer tes an — I autres coefficients par les équations du pfemier degré
Cela (ait, la relation ( r) nous montre qu’on aura encore ij (x)ï=o pour'x = a,„, c’est-à-dire d’après la condition posée entre les quantités a • ■
Or le produit - . \ '
donne dans les trois cas que. nous aVoni à considérer un po-
4^3 note sur la TnéosiE
lynôme entier de degré 4« et ne renfermant que des pOlssances paires de 2, car on a successivement pour
dz\’
Z 2= sinam
z = cosamx \^—j=(j—z^){h^-^-h^z'),'
m f (IZ \ ^ '
z=2AamÆ- • j
Dans le’ premier, ce ‘ polynôme, décomposé ea facteurs, sera donc
. '(s' — sin’ama,)(z’ — sin^ama,). . (z’ — sin’ama,„,)
X — sin’am(!ït + 2t + . .
dans lé second
(z’ — cqs’ama,)(z» — cos’ama,}. . .(z*— cos’amà.;,,)
X [-2^ •— COS*am ( a, -f- O, . ^-f- «an— I )], J '
et enfin dans le troisième . ‘
(2’ — -l'ama, )(z’ — ,4’ama,). . ~ ^’ama,„,) •
X[2^ — A*am( a, -f- a, -H . , . a,„i )],
Les identités que nous venons ainsi d’étabiir donnent un résultat important lorsqu’on y fait.z = o. Si l’on désigne en effet, suivant les trois cas, par L, M, N, le terme qui ne contient pas'z dans le polynôme F(z’), on obtiendra les relations
sin am (ai -+- â, — f— ... -f- a,ni - COSam(a,-)-a, 4-, . ..4- aj„i) = Aam(a, -f- a, -t- . . . -J- a3„,)-
smama, sinama,. . ,sinama,„,
cosama, cosama,. . .cosama,„, ±N >
Aama, Aama,. . .aarna».,
Des conclusions toutes pareilles seront données parla fonction ■ , y •
■ j>i(-T)=:sinanvxF(sinMmj-) 4- ^^^^■^^/(sin’amjr).
DES FONCriOKS ELIJPTIQUFS. 433
OÙ F et / introduisent an + i eonstanles arbitraires. -En prenant encore égal à l’unité le coofücienlde la puissance la plus élevée dai)s F(2’) et déterminant les autres coefficients par les •conditions
on aura ,
sin*ama:F’{ sj(i’am.r) —
=(sin’amar— sin’ama.) (sin’amar— sin’ama,)...(sin’am.r— sin’ama^^ X (sin’ama:— ‘sin'am[«,-i-a»-h. 1.
• Ce second théofème donnerai^ la valeur de sin’am ( *i -(- aj 4- at,„),
où fignre un nombre pair d’argnments, mais le premier a l’avantage de conduire en même temps à l’expression do
^ sinam ( H- «a -+• . .~t-aaH i), ^
'' COSam( j£| -I- aa -4“ . . + «aja— I )>
Aam ( a, -t- aa H- . . aj„i ),
où il importe peu que le nombre des arguments soit impair, car rien n’empêche d’en supposer un égal à zéro. Une dernièro conséquenceà cet égard nous reste encore à établir. ObservoriS que les équations
(p(a,) = o, ip{aa)=: O, , ÿ( aa„, ) = O ,
OU, pour abréger, ' .
déterminent pour les coefficients de F et F, des fonctions rationnelles, dans le premier cas, pour s. =? sin ama;, de
rfsinama,
smama/ et >— — = cosam o.aama;;
dans le second, pour S = cosam a;, de • . -
d cosam St; . ■ ■ '
icosama, et — t = — sinama, ^ama,-;
rf a, '
rfsinanljr\’
