IB ‘]J
sin’ama;)
434 KOTE NKR 1.A THKORIK
dans lé troisième enlin, pour a = aama,, de ,
</Aama,'
aama, et
doLi
■ k' sin am a, cos am a,.
Telle sera donc la forme des quantités que nous avons tout à , l’heure désignées pat L, M, et jwr suite des valeurs elles- ‘ mêmes de - , . '
sin am (a, a, + + a„i),
. ‘ ' cosam (a,-t- a, .-t-a„,), ' ~ t -h' 6-.- ■’
A am (a, -t- a,H- . aj^i ).
Quant au double signe, il suffira pour-le déletrniner d’uii éas particulier; nous allons en donner un exemple. ...
lli — Formules pour, l’addition de deux arguments.
Nous appliquerons les théorèmes précédents au cas de trois arguments a,,' a, elVj, en supposant le dernier égal à zéro, et nous prendrons ' ,
■ ' '■ dz' '
f{xY=(z‘+az’+l>)-i:'cz-^- • ..
On remarquera alors que, dans le cas de -a = sinamx, l’équation fondamentale a celle forme . ■ *
c’a’ ~ sin’ama,)/2’— sin’ama,)
• • , ’ ‘Sin’am{a, +«j),
de sorte qu’on doit déjà poser b±=o. Si l’on supprime dans les deux meinbres le facteur a», et qu’on fasse ensuite -a = o on obtiendra* ' * ’ ’■ •
sin am (a, -l- a, ) = -: ;
• ' ' sin ama, sinama, ,
- Cela posé, les équations f (a,) = O, y{a,) = o deviennent ^ •
sin’ama,+ asinama,-t-.ccosama, Aamai==o,
\ sjlt’ania, +• «sinama,-H ccosama, Aama,= O,
d'où
DKt FONCTIONS EIXIPTIQUES.
sin'amg, — »in*am u.
^siii ama, sin am a* aioamac, eosam», A am a, — sin am a, cos ama, Aamsc, *
valeur qui sé réduit à sin ama, pour aj= o, de sorte qu’on doit prendre dans la formule le signe supérfeur. 11 vient ainsi, en multipliant les deux termes de la fraction par .
sgi ama, cosam a, ,aama, + sinam a, cos ama, a ama,,
et supprimant haut et bas le facteur sin’ ama, — sin’amai,
^ * * * , \ sinam a, cosaroa, A am a.-hsin am a.cosam flt, Aam «a
8in ara -h af, ; =
^ I — •«■»in*ama, sin’am a,
Dans lés autres cas où z = cosamÆ et z = Aamar, l’équation
z' + flz’ + b + cz -r- = 0 1 '
admet la racine z=ii qui répond au troisième argument sup^ posé nul. On doit donc faire ‘
z‘+ rtz’-l- 6 ={z>— i)(3’tH/w), .
ce qui conduit, pour Z = cos ama:, aux équations
cos am a, Aama,
„ cos’ama. H- /w + c , ^=0.
, Sin ama, ■ '
, • < cos ama, Aama,
cos’ ama, wi -h c — . ■ — - = o.
sin am a.
et a la valeur
cosam (a, -I- «,) :
cosama, cosam ai
de même pour z = A am x, on a les relations toutes semblables ,
•" cosama,AÆma,
A’ama,-h m -H c — ‘ — o,
sin am a,
. cosama, Aama,
.1 A’ama, +■ m -t- c = o.
Aamfa, + a,):
sin ama, ± m
'Aama, Aama,
Un calcul entièrement analogue à celui qui concerne le sinus
436 ^ NOTE Sl'R I,A THéOBIE
donne les formules suiyanles ; '
> . cosama, cosama,--sin am Ainamœ. A am a. A ama, >
cosam («,-(- a,) = ! *77-7 ■, — . , ■ !)
I — A’sin’ am y., sin* am a,
. . . A ama. A am — * A’sinam flt, »inarna,coA>am flc.cosam a.
A am (a, -f- a,) = -r — ^ — î-
^ 1 — A’^m'ama^ 8tn*ara a,
Les trois formules que nous venons, de déduire du théorème d’Abel sont nommées à juste titre fondamentales, car elles suffisent pourdéfinir complètement les fonctions slnarax,^ cosama:, Aamx. On peut voir dans les premiers Mémoires d’Abel, et postérieurement dans les travaux de Gudermann, l’un des meilleurs auteurs qui aient écrit sur la théorie des fonctions elliptiques, comment elles donnent la, double périodicité, puis les expressions de sinam(/iar), cos am ( n;i: ) , Aam (nx), où n est un nombre entier quelcohque, d'où l’on
déduit, en remplaçant x par - ) et passant, à la limite pour n
infini, les expressions analytiques sous forme de quotients des' séries 0 et H. Nous y joindrons les suivantes, qui s’en déduisent immédiatement, savoir :
. 8inaTn«,co8amg, Aamg^-^siDam«,cosani«, Aainct,
* 1 — A*ain*amajSin*ama, *
cosama^cosamK^H-ainaTng, s^namy^ Aaroa, Af»tn«^
t — A*6in*am a, sin’ani a,
Aamtt, Aaniy,4’A*sinani«,sinama,co8arooe,co8 amy, 1 — A'sin* am a^sin am«.
d’addition et de soustraction on en conclut
asinama, cosama, Aania, sinam (a, a,) f — /,=sin’ama, sin’ama.
cosam (a. — a,):
-t- aam(a,— a,)'=
acosama, cosam a,
I — /l’ sin’ ama, sin’ama,’ aAamaiAamg,
1 — /l’sin’ama, sin’ama,
2 sinama, cosam ai Aama,
. , T a Mil aiii a, eus ciiu ai aiiui a,
— sinam (a, — a,)= , , . — »
, I— A-sin*ama, sin’ama,
, asinama, sinama,Aama, Aama,
; cosam (a,— a,) — cosam(a, a,) = A am(a,-r-a/) — A am (a, -t- a,) az:
i-r-/i’sin’ama, sin’ama,
2 A-’siii ama, sin am a, cosama, cosartia 1 — '/l’sin’am a, sin’am a,
DES FONCTIONS KIXIPTIQBES. 43?
Les trois dernières équations, en faisant
x,='x, a, — aj=a, . . >
conduisent à déterminer toutes les valeurs de x, qui donnent
- - ' sin amar — sinama, - .
’ ' . cosamar = cosama,
' ‘Aama; = Aama. '
Ainsi, dans le premier cas, on reconnaît que .toutes les solutions sont données par celles des équations
iP — a ^
sinam
— 0 ou CO ,
a; 4- fl
cos am
Aam
On en conclut immédiatement, d’après les formules données page 384 racines des équations ^
0(a?) = o, H(a;) = o, 0,(a’) = o, Hi(x) = o,
qu’on a
i x = a-^ ^niK + o.m'iK',
I ar = a-f-(4m-4-?)K-t-2m'j'K'; . ,
de même pour
cosama; = cosam a . . • :
on obtiendrait
ou plus simplement ■ ■
ar '=:= i « 4- 2 w { K 4- I K.' ) -H 4 ^
et pour
, «iiam^ = Aama,
NOTE SDK LA flléORIE '
Dans ces formules m et m’ désignent des nombres, entiers quelconques, positifs ou négatifs.
Les formules pour l’addition de deux argupnents donneraient lieu à beaucoup d’aptres remarques; je me bornerai ici aux résultats relatifs à la duplication et aux valeurs que prennentles trois fonctions lorsqu’on supj)Ose l’argument égal à une demi-période. Les premières découlent des formules fonda- ' mentales, qui donnent immédiatement
sin am 2« =
cosamaa = ■
asinama cosama Aama I — fr’sin’ama ’
I — asin’ama-i- /r’sin'ama I — /f’sin‘am«>
I — a/f’sin’ama-H A^’siu'ama
Aamaa = 5 — : t
1 — «"’simarno ,
et on en déduit les valeurs suivantes, qu’a données Gudermann :
sinam — = .. .
2 sfm,'
, sinam — =
cosam — =
Aam — = JF; 2 '
, { cosam — =
iK^ r~~rt hi
a(^±iK') = q=iVAr';
1 \ cos am
nam K± — =
«am(K±'-f) = + /Y/^,
Aam ^Kdz^ j = V'i —
sinam
/KdbiK-'\
/K±iK'\
cosam i
Aam 1
ZK±/K'\
Dioi‘i"r1 by C'''OgIe
DES FONCTIONS ELLIPTIQCKS.
