II I

4o DES DIFFÉREKCES

OÙ, pour abréger, on a omis la constante arbitraire que comporte chaque résultat.

Wl. Au lieu de pousser plus loin cette induction, on peut supposer en général

î X" = A -f- B ^ -t- C 4- D H- etc . ;

en prenant la différence première de chaque membre, on trou-

vera

(to 4-t) m (m — 1

— X* — -f* etc.

“ Uf f* -7— r».

x^‘A’-l- etc

x^’A -t- etc.

-f- etc..

et comparant entre eux les termes affectés d’une même puissance de X, on obtiendra, entre les coefficients A, B,C, D, etc., les relations suivantes ;

etc.,

avec lesquelles on déduira facilement les uns des autres les coefQcients de l’expression xx", quel que soit l’exposant m.

En calculant immédiatement les douze premiers termes, on

trouvera

I mh

I m(ni — — 2)(/w — 3) (m —

JC—’

JC*-*

vC • ^

JC—'*

Ûv

Ht

+ etc. + const..

formule dans laquelle les coefficients exprimés en nombres méritent attention, parce qu’ils reviennent souvent dans la théorie des suites.

Je ferai observer, avant de finir cet article, que si l’on multiplie ïx* par h, et qu’on passe cet accroissement sous le signez, on aura l’équation

laf*h= x’^h-\ = ^ etc. -f- const, j

dont le second membre a pour limite ^ 4- const., lorsque

h s’évanouit, cas auquel za^A se change en Jv’Ax, d’après ce qu’on a vu dans le n° 236.

A02. Ce qui précède fournit le moyen d’intégrer toutes les

DES DIFF1ÉBENCES

(onctions algébriques, rationnelles et entières, uans le cas où la variable Indépendante reçoit un accroissement constant. Soit pour exemple la fonction

Ajt’ -f- Bar’ + Cx -h P; en observant que ' ^

2(Aar’ + Ba:» + Car-pD) = Aïa:>4- Bïar’ Cza: -f- Dzx“, et mettant pour Sx’, sx’, Sx et s“, leurs valeurs, on trouvera

s ( Ax> + Bx* + Cx -t- D ) = A ^

AA’— 2BA + 2C , BA’ — 3CAH-6D ■f r H =-: X + const.

403. Dans l’intégration des fonctions transcendantes, je mé bornerai aux fonctions exponentielles et circulaires. On a pour les premières

d’où il résulte ' ,

et

= Sa*(a* — 1} = (a* — i) S «*

fl*

Sa* =

-f- const.