Pour les fonctions circulaires, on a ; i” l’équation

cos A — cosB= — a sin^(A — B) sin^(A + B), qui donne >

a cos xc= cos (x-i- A) — cos x = — asin ^ A sin ^x -4- ^ A^ » d’où l’on tire ' - î

A cos ~

sin ^x + i A^ = •

A' cos X

2 sin - A a

5 et sin X = —

asm

in -A

en écrivant x — -A, au lieu dex; prenant ensuite l’intégrale

de chaque membre de la dernière équation, on obtient

cos

ïsln Æ = -

a sin- A a

a®. L’équation

sinA — sinB = asin^(A — B) cos ^(A -t-B), donne -

Asinar = sin(a: + A) — sin x' = a sin ^ A cos ^ar'4-^Aj

d’où il suit

cos

(a;+iA)

î cos a? =

A sin X

■ PJJ» COSa: =

a sin -

sin

. 4 sin — J A^

a sin- A a

const.

a sin - A a

3*. La. conversion des puissances de sinus, de cosinus et de. leurs produits, en fonction de sinus et de cosinus d’arcs multiples, ramènera aux deux formules précédentes l’intégration de la fonction générale sin x" cos a:*, lorsque les exposants m et n seront des nombres entiers positifs.

En effet, cette fonction sera changée'en une suite de termes de la forme A sin qx, ou X" cos qx, dont les intégrales se déduiront de celles de A sin a; et de A cos x en écrivant qx et qhy au lieu de a: et de A; et il est facile de voir que l’on aura en générai

coi( p+qx-^qh\

> ttx\ = ' . . . - .

2 sin - qh

s sin (p-h qx) = -

-h const..

ïcos(p + qx)

sin (p + qx^^qh\ - + qx)= ^ const.

asin-oA a ^

405. L’utilité dont est l’expression de 2 «, pour la somma-^ lion des séries, a porté les Analystes à s’en occuper beaucoup, et ils sont parvenus à lui donner plusieurs formes très-élégantes : Euler la fit dépendre des coefficients différentiels de u et de l’intégrale f udx. On arrive à ce résultat en partant de la formule

, ' dz h ^ d? Z h? a .t , . .

— -j -1- J — ; — J « -t" etc.,

dx I dx’1.2 dx’ 1.2.3

qui donne

h dz I ' dx