f- A', d'amx-f-.' . '■+■ ir, A*"amA
I + A, A’anr^ U,â’"aina:
Soit en second lieu n impair et faisons '
on aura
, , sinamar + rt'sîn’amar 4- 4-/i'sin’”'*‘'amx’
sinam(»a:)=n 1 . ■ ^ — ; i . , r»
I 4- aSHi’ama; -1-. . . -t- A sin*“am4f-
, , • cosamar4-a', cos^amar4- 4-A', eos^+'am^
cosam(/ia:) =« — — 1 — ^ 5
• I 4- «icos’amx 4-. . . -r Aicos-^aimr
, , Aamo; 4- rt', A^amar 4- . . .4- A', ama:
Aam(/ix)= n ^ ^ — !
I H- «îA’am ^4^.-. .4- rtiA“ama?
Tous les coefQcients dans ces diverses formules sont des fonctions rationnelles et entières de /r’, et Jacobi a donné pour leur détermination dans le cas où n est impair, le théorème suivant.
Soitslnamjf = -^» sinam(nar) = ^ et Ü = P et t}
44o NOTE St'R LA TliÉOKIE
étant des polynômes entiers en u ; si l’on fait
ces deux polynômes satisferont à l’équation linéaire aux différences partielles que voici :
+ («■— l)(aM —
. - • dz
, Sur les fonctions de seconde et de troisième espèce.
On y est amené par la considération de l’intégrale
F(sina.ma?, cosama:, Mmx)dx,
où F désigne une fonction rationnelle quelconque et qui va maintenant nous occupér.
Soit, comme précédemment,
U = sin am x, v==côsama;, w'— Aam;r.
On reconnaîtra d’abord qu’elle peut être réduite à la forme
A -I- B e 4- Ctv -t- D viv ) «far,
où A, B, G, D sont des fonctions rationnelles de la quantité «. Il en résulte que la première partie
^ A (ix
demande seule un examen attentif, car à l’égard des deux suivantes l’intégration s’effectuera par les règles relatives aux radicaux carrés du second degré, en prenant « pour variable indépendante, et la dernière se trouvera même ainsi ramenée
DES fONCnONS EU.IPTIQUES. ' 44 1
' aux fonctions rationnelles. C’est donc seulement dans üexpression. J* \dx que l’on peut s.’attendre à voir résulter de l’intégration des fonctions nouvelles, et que les considérations suivantes’ vont mettre effectivement en évidence.
Soii^ ' ' . • . , » . . ’ '
y et i}! désignant des polynômes entiers; en multipliant par .’H — f/) les deux termes de la fraction et faisant
— «pi H .
'on décomposérar l’intégralo proposée dans les (feux suivantes,
dont la seconde se ramène encore aux radicaux du Seéond degré, puisqu’on faisant «’=< elle devient ' .
Il y a donc seulement lieu de s’occuper de la première, ^u’on fera 'dépendre, en décomposant en fractions simples de termes tels que • . '
Çu^dx, f- — ■ ’ -
ou bien , ’ , ' .
/u^“dti r du '
\/(i — «M(i — J ( t — a «’ )r v'( 1 — ii‘) { I — 4' «’ )
et ces termes sont eux-mêmes réductibles, comme on va voHr, aux cas les plus simples de n ;= i , /; = i ..
I 6* éd. U. - ^ ‘ r ' 2<) '
. Digilized by Googlc
44> ' KOTE Sl’B LA THÉOSW
' Parlons en premier lieu de la relution. . "
diif"
qui différenliée donnera ■ • ÿ • ■
En imégranl par rapport à x les deux membres de cette équa- 'tion, on trouvera cette formule de réduction .
■ du’" dx
= m(m — l'if W^-’dx ud(i +L’}f w'dx
m (») + I ) ldj“ U”-*--dx, . ' ,
yr^ ^'4
■qui jnonlre comment de proche en proche on ramènera l’inté^ grale proposée ou m = 3 n, aux seuls cas de « = O, n = I.'
Le premier donne un terme proportionnel à la variable, et c’est.le second qui conduit à un nouvel élément analj'tique, ^ dans la théorie dès- fonctions elliptiques.
En introduisant comme facteur constant le carré du module, C/ nous poserons . •- • . ■ ‘
f /(‘sin’amx't/x, •
' - . Jo . '
^ ■ \ • ' ■ ' ' ' ce sera ee que l’on nomme et ce que nous appellerons dorer
nâvanl h Jonction de seconde espèce. ■
Parlons en second lieu de la relation- •• ' . .
- , ^ 3-1-2/.’ .3/’\ f^dx
‘ ' "-i- .J* r>. dx ;;
qu’on trouvera identique par la diiTcrentiation. Il est clair que de proche en proche, elle fait dépendre le cas le plus général des trois suivants oii l’on suppose p=-^î, p = o, p=i\ Le premier nous- ramène à la fonction de seconde espèce, le second donne un terme proportionnel à la variable: c’est donc seulement le dernier qui met encore en évidence une fonction nouvelle^ que nous étudierons sous la forme . ,
au lieu de
En faisant
r'AU’dx
, - r dx
a= A'*sin’amfl,
A = i ^ Ar’sinama rosama Aam«,
, ^ dn
nous poserons
Jo
** Â^sin ama cosaroa Aamosin^ani.g.tfj:
■ I — /r*sin’aniasin*amx
et cette expression sera désormais pour nous la fonction de troisième espèce. ' ■
I. — Expression par S{x) des fonctions de seconde et de troisième espèce. ’ • ;
Nous avons précédemment établi la relation suivante '
d sin ainar
sinamx(sin’amx 4- A ) + B
dx
où les coefficients A et^B s’expriment par a, et a, en' posaht
' - ■ . , ■ . . . . n ffsinaniar
sinama,(sm’ai1na,-l- A)-(- B -, = o,
sin am a,(sin’am *-4- A)-
,, d sin atjiaj B j != O,
Soit T ■ - - ’ ' • ,
et par suite d’après la condition
NOTF. MB LA THEORIE
«I = — a, = rt,
on trouvera
B = O, A = — sin’ ara a\ .
ev par oonséqueni
, . , - . , (ar-t-rt) H (a: — «)ll(jr)
sinama:(sin’am JT — sin’amrt) = L — 'e^{x) — ’
Déterniinani C en faisant ar == o, il viendra enfin
. s.n>amar-stn»am«= AsH^)eUay
• * » ^ Celle relation importante prend, si l’on change a en rt-(- 1 K',
cette nouvelle forme ^ . '
, ■ ' 0’(o)efa7-t-a)e(ir — a). .
I — fr’ sinam asm’ aura: = — — — — — ;
0 (ar.)0’(a) '
J ” ù laquelle on parviendrait encore d’une autre manière en ein- * ployant l’identité . > . .
r- it-*' ' 1 !^=7:sinam{a:-4-a)sinam(.r — a) •
( ^ sin’am X— sin’am a
I — /f’sin’ama sin’amx
îf' ~ Elle donne, en prenant les logarithmes de deux'membres,
v-,, ■ .V ' log{i— /r’sin’amasin’amT)= log0’(o)-t-log0{^ + a)
J ■ ’ -t-log0<Æ: — a) — 2lOg0(Tl
. - • { • —a loge (a),
>• > et de lè oiTtire immédiatemenr, en diffçrentiant par rapport à
. ; O^Bilie.edfcA'
~ DES FOXCTIOSS ELLI1>T1QVBS.
n et en intégrant ensuite par rapport à x.
’k' sin am « ros am a a am a sin* am xdx
, I- — /i'’sin’amrtsin’ama;
S' la) I , e(x — a )
=*.5îïj
c’est l’expression analytique découverte par Jacobi de la fonction de troisième espèce. En divisant par a et supposant ensuite a =o, on en déduit ■
/r’sin’am xdx = Z(x)
0 ( ar )
où l’on a posé
jC’est l’expression donnée également par Jacobi de ia fonction de seconde espèce et qui va nous conduire aisément à ses propriétés fondamentales. . .
