II. — De la fonction Z [x

■ La première de ces propriétés est de n’avoir qu’une seule et unique détermination pour toute valeur réelle ou imaginaire de la variable. C’est aussi ce qui résulte directement de la consi-

dération de l’intégrale y "fr* sin’amzt/i. En effet, pour 1’ quelconque des racines de l’équation

une

sin am z

savoir

s = amK -1- (2 m'H- i)7K', -,

le résidu correspondant de A’sin’am*, c’esv-à-dire le coeffi-

Ci«ni de - dans

-!>OTE SUR LA THÉOHIR

^’sin’am fa w K -|-(2/n'-|- i) J K'-l- «1 = ^ > ■ ■

s’évanouit, car sin'anu ne contient que des puissances paires de t dans son développement. L’intégration, quel que soit le chemin décrit par la variable z, ne donnera donc qu’une seule et unique détermination. Nous pouvons ainsi poser sans aucune ambiguïté, en adoptant les dénominations de M. VVeierstrass,

A’sin’ainjrrfx,

A'’sin’am xdxl

Ces quantités se nomment les fonctions complètes de seconde espèce et sont liées à K et K' fonctions complètes de première espèce par la relation que nous avons déjà men-' tionnée : •

KJ'— K'J=-

et que nous allons maintenant démontrer.

A cet effet, faisons successivement

y !. ■ ' A:^K--f-iKV. ■'

dans réquation fondamentale | '•

La première substitution donnera tout d’abord

J=ÇK, -

car on a

DES FONCTIONS EIXIPTtQUES. 44?

Pour la seconde, nous partirons de la relation donnée p. 384:

-il (2* -H i K')

e,(ar^-/K') = H,(Æ^)B et d’où l’on tire ; , -

, log0,(ar + /K') .= logH,(x) — ^(aar-j-Hv').

En différentiant par rapport à x, on en déduit

e'i (x + /K) Il'i(ar) i-r

0, {a7 + /K') 2 Iv.

Maintenant si l’on fait x = o, la dérivée de la fonction paire s’évanouissant, il viendra '

0', (fK')e'(K-f-tK') •

0,{jK')~ 0{K-|-iK') TiT

On en conclut •

Z(K + iK') = ç(K-hiK') +

ITT

et par conséquent

Z(K + iK0-Z(K).,^,, 7T i ■ ^2K’

ce qui donne la relation annoncée en remplaçant ç g*

Ces quantités J et J', lorsqu’on suppose le modulé k réel et moindre que l’unité, s’expriment par les intégrales rectilignes : .

r ' Ii^x'dx

J, r* k^x'dx

Jl ^(x’ l)(l Jl^X^)

et l’on a, comme pour K et K', ces deux séries :

r=s log f - (J- J,)- 3^ ( J- Jâ), - 5^ Ja)—

en faisant ;

NOTE SUH LA THEOBIE