ly f + . . . + nij

I 2/J. I / I . 3...2rt — 3\’ , . • ■. '

Voici ntaintenanl la propriété de la fonction de seconde espèce qu’on doit regarder comnae caractéristique et qui justifie son introduction à titre de nouvel élément analytique dans la théorie des fonctions elliptiques; elle consiste dans les relations : . \

' Z ( 3? -+- 2 K j = Z (ar) 2 J,

Ces relations qui découlent immédiatement des équations fom damenlales :

0(ar-l-2iK') = — 0(a-)éf ,

en en prenant les 'dérivées logarithmiques, donnent en effet la notion d’un nouveau genre de fonctions qui, étant uniformes, se reproduisent avec l’addition d’une constante lorsqu’on augmente l’argument des quantitésv2K et 2 /K'. Plus tard on verra le rôle et l’importance de ce caractère qui n’est plus la double périodicité, mais qui s’y rattache d’une manière étroite.

On y parviendrait d'ailleurs encore autrement, én partant de l’équation

ï{x + a) = Z[x) rt- Z(a) -h/i'sin'ama: pin'am asih am(x-)-a), ,

c’est-à-dire du théorème de l’addition des arguments dans la ■ fonction de secondc'espèce, que Jacobi démontre^ comme il suit. ' ‘ '

Différenlions par rapport à x l’équation

+ ^log

il viendra

/l’sin ama eosama Aam asin’amx -1 — 7i' sin’ain a sin’ ain X

'•^0'(rt) j 0'(jr — rt) 1 0'(.r-t-<() , .

, ~~ 0(a) i&{x—'t) 2 0(x-t-rt) . /,

d’où, en permutant X et rt, , ' %

A’sinamxcosaiDxAamxsin’aiiia ■

I — A-’sin’am O sin’am X

'or ces relations ajoutées membre à membre donnent A^sinamxsinamasin am(x4-a) = Z(x + a) — Z(x) — Z(a).