III. — De la fonction \\(x, a

On considère comme l’une des plus belles découvertes de Jacobi cette expression de n (x, a) où figurent deux quantités, l’argument, X et le paramètre a, par la relation

, , La) I , 0{x-

n(x, a) = x— ; — ^ -I — log , — ' ' 0(a) 2' ° 0(x-

dans laquelle n’entre que la seule fonction 0 avec sa dérivée. Il pourrait même paraître inutile, à cause de la simplicité de cette expression, d’introduire avec une désignation spéciale et comme un élément analytique propre la fonction de troisième espèce. Cette désignation cependant est consacrée par les travaux de Legendre qui ont précédé la découverte de Jacobi,. et nous l’emploierons dans les énoncés des propositions suivantes. .

NOTE SUR LA TIlEOniE

A. — Echange de f amplitude et du paramètre. L’équation fondamentale donne immédiatement

ou bien encore

Tl(xfa)—n{a\x)=: aZ{x) — xl{a);

en introduisant fa fonction de seconde espeèe. Cette propriété-, peut être étabiic directement et étendue aux intégrales d’ordre, supérieur par la méthode suivante qu’a encorç donnée Jacobi.

' Soit <f {x) un polynôme de degré quelconque en x et

/’■' \f^dx •

' ■ Ju {x — a)sj<^x

la différence F(x,a)— F{a,a;), ou bien la somme dçs- intégrales •

\fÇâdx ^ r“ \/Jxda - ,

Jo {x — a).\i<fX Jo (a: — ,

peut être remplacée par l’intégrale double - .

Jo Jo \J<fX\Jia.aL

x-i-f’a){x — «)-f-a<prt — iifx

a ( X — -ay

Or on trouve aisément que la quantité placée entre parenthèses est une fonction entière de x et de a, de sorte que l’intégrale double se ramène à une somme de produits tels que '

' rç};;:dn^^ r^x .

Jo \/(fa Jo \JfX ;■

Le cas des intégrales elliptiques résulterait évidemment de là, en posant

ox = x{i — sc){i — k'x)

et prenant pour variables a! et a, les quantités et Sin^am a.

amar

'B.— Des fonctions complètes.

Supposons successivement dans l’équation précédente n(x, a)-~-Ti{a, x)=-a'£(x) — x7.{a)^ . .

j; = Kcta:=K-|-iK';

eh observant qu’on aura ■ <

n(rt, K) = o, ■'

n(ût, K-hifK'|==o,

on en conclut . ,

nfK,a) = flZ(K) — KZ(a) • .

. =aJ— KZ(a) . ■ .

n{K+ iK') — n(K) = taJ' — iK'Z(rt).

'felles sont les valeurs des fonctions complètes ou bien des intégrales définies

. r A-’sinamacosamaAamosin*amar<

Jg I — «•’sin’amasin’amj: '

xdx

n(K+f‘K') — ii(K)

K-t-iK'

/r’sinamfl oosamoùamrzsin’am xdx I — A^sin’amasin'ama: ^

Si pour un instant on les désigne respectivement par U et f U', on aura les relations

, - ■ * "ÏI (a: 4“ 2 K, «) = n (;f, «) + aH, -

n(a: + 2iK', a) = n (a;, «l-t-aiH'

Kn' — nK' =

maiè nous observerons, à l’égard de la fonction de troisième espèce^ que l’intégration introduit, en modifiant le chemin' décrit par la variable, un multiple entier positif ou négatif de K y/ — I, de sorte que ces relations n’ont lieu que pour certains

NOTE SDB I.A THl^ORIE ' ♦'•

modes d’intégration, tandis que les relàtions analogues relali- • vement à la fonction do seconde espèce n’exigeaient aucune restriction de celte nature’. . * ■