g| — fl)©(«i — g). . .0(«i,+i — a

■'T 2 ®©(a, + rt)0(a,-Ort) 4-fl)'

* ' 1 "••'•il

Cela posé, je dis que la quantité sous le signe logarithmique s’exprime rationnelientent par ^ . ,

sinama, ,

sinama,,.. , sinama,„^.,,

D„ sin'ama„ I)^ sinama,, Da„^,sinamaa^H.

Rappelons à cet effet qu’en désignant par f(af) et/, {x) deux polynômes entiers en x des degrés « et « — i et faisant

ç(a:)= sinamir/(sin’ama:) -t- l)xSinamir/’,(sin’am.T), * nous avons obtenu (p. 43i ) la relation suivante •

All{x — a,)H(x — a,). ll(x— a„+,) ■' . ! •

OÙ les coefficients des polynômes f et/ doivent être déter- . minés par les équations linéaires

. ç(a.),= o, ,p(a,)=;o,.. , ,p(aM) = o,- .

et sont des'fonclions rationnellés des quanlités‘{,A).'

Djgitilet) byG(X)glo

DES. FOSCTIOKS ELLIPTIQUES. 4^3

Cela posé, en èhaogeani x en —x, on en déduit

y + a,) H(x + a,) . . . []{jr + a„+,) ,

et il en résulte - - ' • .

H(ar — 2.) Il (x — a,) ... 11 (ir — a,„+,)^

> ?( — ~ . U ( a; 4- a,) Il ( a; + «,) , . . Il (a; -H a,.+, )

Or, en faisant d'où

ar = rt / Iv',

sinam x a=

.1 - » * ^ DtSinapaa: =

/rsinamâ ])« sin ani«

la quantité

frsin’amrt’ ‘

H ( .r — g| ') Il ( ar -V a, )~. . II ( j- — a„^.i ) H (ar-j-a,)H(a:+'a,) . . H ( jr a,„+, )

deviendra précisément -v ' . ■ ■ .

e ( ff — «t ) 0 ( a — g, ) . . .' e ( {I — )~

0 ( a -h ai ) 0 (<a -f- a, ) . ... 0 ( a a ,+1 )

Elle s’exprime par conséquent comme il a été annoncé, ayant pour valeur la quantité ' ’. ,

■ ~y - A I \ ../BaSinamaX „ / i \ /rsinama'' \/i’sin’am a/ \ /rsin’am a / \ A-’sin'am a/

' t 1 , \ /D.sinamaX . / i \

A'sinama \/itsin’ama/ \ /rsin'am a/ \ A-'sin'am a/

qu'on ramène, eh multipliant haut et bas 'par sin”*+' am a, à la forme . ‘ '

sinam a F (sin’am a)— D<,sinamaF, (sin’ama) sin am a F ( sin’am a ) -(- Dosin am a F, ( sin’ am a )

F(a:) et Fi(ar) étant comme f(:v) ci f, (x) des polynômes de

degrés n et n — i en a:.. > . ‘ •

-On peut donc écrire, en remplaçant l'argument .2,^4.,' par

454 NOTE suit LA THéOKIB' .

— {a, , + a»), J’équalion suivante •

' n («I, a) -1- n ( aj, a ) -t- . . . -f- H ( u,„, a) ■

■= n aj+ ^ '

1 sin amaF (sin^ain») — l).sinaniaFi (sih*ama) ■

2 ® sinamaF (sin’ama) + D«sinaniaFi(sin’aina)

c’est le théorème de l’addition des arguments sous la forme, trouvée par Abel.

D. — De différentes fonctions analogues à. la fonction de, ■ troisième espèce. '

D’importantes questions de mécanique conduisent souvent à réduire aüx fonctions 0 des intégrales semblables à la fonction de troisième espèce et qui s’y ramènent par quelque subslUulion simple; aussi Jacobi, dans son mémorable travail sur la rotation des corps, a-t-il jugé nécessaire, de donner le tableau suivant, qui offre la réunion complète de ces diverses intégrales ainsi que leurs expressions sous la forme la plus simple par les fonctions ©. - . • '

Jf~^/i ’sinainrtCosaina AaniftSin* P ' I — /r’sin’anirtsin’am.

amxdx

Jf'^^-^sinamacosam g cos*ama?rfa Q Aama(i— /i’sip’ama sin’amg-

2 '’efgr-i-rt)

A’ainxrfg:

amar

g rotang am g Aam'gA^aii ’J^ I — /f'sin’amgsin’

. r" Aamgcotamgrfa: H' (g) ,

' Jg I — A’sin’amasin’ama; U{g) 2 ^©•(ar-t-g),

g résinant g cos sin’aing-

[CosanigAamg<fr

-sin’ amas'

1 , II (g + x) 2 ^^iifg— g-)'

Di..

DE.S FOXCTIONS ELLIPTIQUES.

sinama cosama A’amarf/x g Aama(sin’amâ — sin’oui.*)

I H(rt + ar) e,{«) ■'"2 ’°S

'^langama Aamacos’am

sin'ama — cos'ama? i'

.. -^'1 loe îi(fL±£).

a ^ H (a - X) xdx

■ H.(rt)

cotama sin^amj U , sin’ama — Sin’aino;

: Mlif] 1 1 lôe

Il (a) a ® H (a -e- x) •

- Il nous suffira d’ôbscrver, pour qu’on puisse immédiatement les démontrer, que les équations 2, 3, 4, se déduisent de la première en ^ changeant sùcoéssiveinent .T et a en .. X -j— K., a -1“ K

. . X -+- K -f- iK',. an- K -h iX',

X 4- /K', a ■+- îK'.

Ces quatre équations ainsi obtenues, on en tire les quatre suivantes par le changement de x en x-t- iK' (*). ,

’ Des fonctions de M. Weiérstrass.

Il a été déjà remarqué que sinamx, cosanix, iamx, pouvaient, pour des valeurs de x moindres que l’unité,'^ être développés suivant les puissances de cette variable en séries' dont les coefficients sont des fonctions entières et à coefficients rationnels de A’. 11 en est évidemment de même de siu’amx, de la fonction de seconde espèce '

Z(x)= I A"’ sin’am X (/x,

( •) Si l’on représente -par { Vxdx l’une quelconque des huit t'orracs de la

fonction de troisième espèce, Vx aura pour périodes a K et j iK',, et les expr^pssions prêccdcntfts's’obli^ndront immedratemeat h l'aide d’une expression çêner raie dcs'^fuiictiüns ckmblement périodiques, qui sera clahHc à la fin de cette' Note^

savüiriF x) = C + 2 R les quantités ; désignant les racines de l’é^ H(x~Ç)

quation = U, et R les résidus corrcspondanls de r x}, :

456 NOTE SCR bA TUÉOJtlE

de son intégrale 1 ^ Z{x)iJx ei même aussi de, l’exprêssion

mais

is tandis qu’à l’égard de Sin^am^:', Z(jr) cl j Z(x) ckt

les développements ne subsistent que pour des valeurs dé la •• variable dont le module est inférieur à l’unité, l’exponentielle

, conduit a un développement convergent dans toute l’etendue des valeurs réelles ou imaginaires de;»-. Efféetivenient l’équation

Z{x)=:>lX — '

* Sx

donne

Z(x)dU-‘

' Voici donc une propriété bien digne d’attention de la fonction

e{a:) de se changer par l’introduction du facteur e ^ '

en une nouvelle fonction où l’argument est sorti du signe cosinus et où Qgure directement le module k' à la place des

périodes et de la transcendante q=e . Les mêmes choses auront encore lieu évidemment à l’égard de ces trois autres fonctions:

sin &mxe

'A(x)dx

cosam xe

A ama:e

■; 0(0) ^k H,(gr) /r

e(o) y T(' - nz(*)rfx- ,. '%£ ■

Il en résulte qu’à côté des développements périodiques \ * • »

. nKx I ayosinar — 2t/q*sin 3.Ï -+- — ...

sinam =-=-ïJ ï-3 — ; i-i-

; ^ \[k^ — 2^cos2ar+2^‘cos4a; — ïq*cosox‘ — ...

cosam ^^■*•-1 4 /l>'^\jqc09x-\-i<Jq'‘co<i 3a;-(-2j^ç“cos5x-f-.'..

ir y Ar i-^agcos2ar+2q'cos4a;— ai/’cosbar-i-...’

. aKa: /-=-, i -<-aqCos2ar4- 2q‘eos4^ + 2<7"cos6j;-|-...

Aam: = vAr' \ 7 7 ,

•K I — 2çcosaar + 2ç‘cos4a;-(-2^’cosbr-f-...

on voit s’offrir un autre mode de représentation où les fonctions doublement périodiques sont exprimées par des qûo-" ticjits de séries rationnelles en a: et A"’, et convergentes quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires de ces deuy quantités. Abel avait entrevu et, rapidement indiqué la possibilité de ce nouveau mode d’expression des fonctions elliptiques, mais c’est à M. Weierstrass que revient l’honrieur d’avoir mis dans la science, au lieu d’un simple aperçu, une théorie profonde qui conduit directement à ces nouvelles fonctions, nouTseulement dans le cas des transcendantes ellip- ’tiques, mais pour les transcendantes abéliennes à un nombre quelconque de variables. Ne pouvant exposer ici les principes dont cet illustre géomètre a tiré ces grandes et belles découvertes, nous nous bornerons, et sans sortir des fonctions elliptiques, aux indications suivantes.

I. — Définition des quatre fonctions Al(x). — Equations . ' différentielles. \

Afin de rattacher immédiatement ces fonctions aux quatre fonctions e( a;), nous poserons :

\ Z (x) dx,

A l(a)i sin am X = .

Al(x)

Al(x),

iamx =

Al (x )

6'éd. II.

et par suite

NOTE SUR LA T^ÉORtS

Al(^.)=^e

' lif!