V 2 II ( ÆT ) I

AMx),=>

Al:(x)3 = e

Des relations (A) résultent en premier lieu celles-ci ;

Al’(^)i = Al»('a:) — AlMar),.

Al«{a:)»=!:Al*(a?) — A-»A1’(«);.

Nous déduirons ensuite des égalités

- Z{x)dx

Al(x) =e ° ,

Al(x)

: sinam(x),

Al(x)

deux équations différentielles, en prenant d’abord les secondes dérivées des logarithmes des deux membres, ce qui donnera

f/Mog A1(jt) d{xy

: — ; A’sin’am.r ~ AP(^)

rfMogAI(j;)i </’logAl( j::) <Mogsinam jt

dx’ (lx‘ <!x^

— A'^sin^am^ — -r-

sin’am JT

DES raUMTIUJiS ELLIPTJOITCS.

d’où, à cause de l’équation précédente.

(P log A 1 (a: j,

sin’am x

AlM.y)

WHx),’

Voici, en développant, les équations différentielles qui en résultent •.

j*K»=) +eAi.(.).=o, gf>Al(^),^' I rfAKxVp

On aurait d’iiïié rtianîèr.e analogue, ou comme conséquence des relations algébriques,'' , , j

là. Il , V/’Al(i)i rf/Al(x)j 1’-

„ . • > * Ces relations importantes que M. Weierstrass tire immédiatement des équations de définition :

d sin ain x

</cosamx • - dx d XAmx

= cos am X A ainx,

- sin amx Aamx, -/l’sin amxcosamx,

et par une méthode qui s'applique aux transcendantes abélicnnes les plus générales, peuvent alors par une nouvelle méthode conduire aux fonctions©, ou serxûrà démontrer directement qu’elles définissent des fonctions développables suivam les puissances de la variable en séries indéfiniment convergentes, et dont les coefficients sont des fonctions entières de /r’ à coefficients rationnels. Toutefois, pour effectuer les développements, on suit une voie différente et plus simple dont voici le principe. . '

NOTE SUR LA THEORIE '

II. — Équations aux différentielles partielles. — Formules de développement. ■ ' . '

Une analyse un peu longue pour que nous puissions la rapporter ici, a conduit M. Weierstrass à ces équations linéaires aux différences partielles, savoir : . < . , •

dx^ ' dx ^ ' dk^

' dk

Ces relations importantes sont éminemment propres aux développements en séries, et on en tire lès formules suivantes. Suit, en désignant le produit 1 . 2 . 3 ... n par /t 1 ,

Al (a:) = , - A, A, fj' - . . . -H (-«H A. ^ C),

3C“ y tm-fi

AI(:p). = -r— ^ — J.

Al(a:),= I— C, -t-C,^ — ... -t-(— ir-C»r^.'

Al(a;J, = , -I). £: + p, ^ - . . . -H(-irD„

Le terme en. x’ manque dans ce dcTeloppement, comme on le roit à

priori par l’exprea>>on e •'o . - • où la séri on ternie en **.

série en exposant commence pur

on aura,

A, =r ïh*, . '

A, = i28(A-*-hA*)-|-48o(A^+A^),

A, = 5i2 Ar'*) +3oo8(A* -+- A‘) + 54oo/r*,

A, = 2048 [h' 4- A'*) 4- i74o8(A* 4- A"’),4- 49668 (fr‘ 4- h'),

A„=i3io72{A’4-A")4-253952o(A^+A'‘)-t-i90976oo(A'4-A")

Bi =; I 4- A*, J ' ^

B, = i 4rA*4-9(A*4-A‘), . '

Bi(=i 4- A” -4- ioo(A’4-A") — 4o8567i5(A‘4- A'*)

46^ NOTE SÜH La théobie

Ci= I + 2^’,

C,= i +GA=+8A*,

Cl = I + 12 6o A* + 32/1', . ' I '•

C,= i + 3o/i-’+2372A‘+ 4Goo/i« + 2880 /f' + 5i'2/i'*,

C»= I + 72/1'+ i5i5368A‘ + 7594592/1®+ 12998928/1*' •• ■' + 9109288/1”+ 2725888/1-'»+ 49i52o/f” +32768/.”, Ci»= * + 9®^’ + 13623480/ ‘ + 89348080/1* + 21 1064400/1"

1)« = 5i2/i»+ 2880 / ' + 46qo /■* + l'i’jilt' + 3o/” + /■'»,

I/i = 2o48/r» + lôSgG/r' + 45024/* + 5i8i6/i* + 69308/'*''

Ds=32768/» + 49i52o/' + 2725888/'+9ioo288/*-

+ 219361824/'*+ 21 ro644oo/”+ 89348080/"

Mais les équations aux différences partielles ne servent pas seulementà faciliter le calcul dont nous venons de rapporter les

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DES FONCTIONS ELLIPTIQÜES.

résultats d’après M. Weierstrass, elles donnent encore, par exemple, uno démonstration facile des équations suivantes, qui se rapportent à la transformation du premier ordre, savoir :

- I Al (/.i-, =AJ(x, A),

Al i^kx, ^ =frAl(x,k),, Al l^kx, =A1(j:, fr),,

Al^À'x,'^^ =Al{a?, A),,.

Àl(/ar, A-') =e* A\{x, h)\,

'Al(/a;, Ar'), = ('e* Al (ar. A"),,

Al (far. A'),— e’ Al(a;, A ),

Al(iar, .A'), = e^Al(ar, A'),. .

Nous remarquerons enfin qu’en passant ainsi des fonctions ©(^) à A'l(x) qui ont perdu tout caractère périodique, les Alfa;), Alfar"), Al(a:)a

quotients

se irouvent posséder h

Al(a:) Al(ar) Al(a;) double périodiciié en vertu des relations suivantes, conséquence immédiate des équations (B), en se i-appelant qu’on a

savoir :

KJ'— K'J = -,

Al (æ +■ sK ) =, 4- Al (ar) e~ - .

I A 1 ( ar -t- 2 K ), = — A 1 { X ,

I Al (a' + 2K),= — Al

KOTE SCR LA THEORIE

Cl • < '■

Al(^ + 2fK') = — Al(ar)

A I (ar + 2 /K'),= — A t (a:), e-a'JW'K-'),

1 Al (a: + 2jK')»= + Al

1 AI(a:+2/K'),= + Al(a:)5«-*‘'^'(*-^‘'^')..

Développements des fonctions elliptiqnes en séries simples de sinns et de cosinus. .

Voici un nouveau mode d’expression analytique qui se distingue essentiellement de celui que nous venons d’étudier, en ce que la variable est assujettie à rester entre certaines limites déterminées, de sorte que, ces limites changeant, la forme du développement doit changer également. Toutefois, comme il suffit, pour embrasser toutes les valeurs réelles ou imaginaires de l’argument, d’un nombre limité de développements et que, dans chaque intervalle d'ailleurs, le développement convena- .< ble subsiste quelles que soient les périodes ou le module, on peut présumer que l’étude de ce mode d’expression ouvrira également la voie pour parvenir aux propriétés fondamenules ' des nouvelles transcendantes. C’est en effet ce qui a lieu, et ' Qn verra même ainsi s’offrir naturellement la réduction aux fonctions elliptiques de toute fonction doublement périodique ' uniforme, c’est-à-dire la proposition de M. Liouville énoncée p. 379 et qu’on démontrera ci-après. Mais, sous un autre point ' de vue et par le seul fait des identités entre les séries et les quotients de séries, on se trouve amené aux propriétés des nombres les plus cachées et les plus importantes, propriétés dont l’intérêt s’augmente même par le lien si imprévu qui les . rattache aux transcendantes de l’analyse. Nous nous bornons ici à cette indication, 'ne pouvant entrer dans cette partie fort étendue de la théorie des fonctions elliptiques et qui est liée étroitement aux belles recherches" que la science doit à Al. Liouville SUT les fonctions numériques.

DES FONCTIOKS ELLIPTIQUES.