I. — Première méthode

C’est celle qu’indique’ naturellement l’équation (')

— ag«cos2x+^*)

X(i — ag^cosaa; + g'*). . . ;

En partant en effet du développement connu

I , , ' . , cos4^

— - log(i — agcQsaa: -4- g’) = gcosaar -+- g’ —

cos6a?

cosSæ:

on aura

-loge — j z=const — cosax{g g’-)- g*-|- . ..)

— s* 4- fl >

'-^(fl’-:-,'+fl-+...)

cosBx

ou bien ' ■ -

I, •/ -iKx\ - gcosaa: g*cos4a? g’cosGa?

g'cosSar

On en conclut les développements des fonctions de seconde

et de troisième espece, d’après les relations

Z(x) = Ça: — Z 1^1’ -

(*) Ko/e* p. 382. ' • . / ' ■

466 NOTK SUB Lâ TUBORIB

c’est-à~dire les formulés suivanles ' •

/ aka

aKn\ aKa*^ ^

^ a K rt \ { -r }

rr / ' TT /a Krt\

' . "(— ) *. 7Cosa(a-t-rt)

• - vT V

, 7'cos4(a-Hn) , '

7 cos 2 (

. 7?cos4(a: — a)

/a Krt\

\ TT / ^p/sinartsinaa , 7’sin472 sin4a -

/ak«\ "L

7’sin6nsin6a 1

[ ,,/2Ka\ ÇK’ r7sin?.a ,

7*sin4a , 7^sin6a , ~\

En diffcrenlianl par rapport à a: la dernière, on obtient encore , - . . -

A’K* . 2hx çK* rflcos9..r 7.o’cos4^ ^

— - sin’am — p r + r~ •

; 3 7’ cos 6a:

Mais c’est à sinama-; cosama, Aama:,. qu'il s’agit de parvenir, et le même procédé s’appliquerait, s’il était possible de les considérer comme les dérivées logarithmi(|ues de fonctions décomposables en facteurs ainsi que 0{a?). Or on a en effet

Jlog( Aamx — /r cosam 4c) ' -

, tùc ’ ■ ' ’

' sinama::

. </log(Aama:-4- /A sinama)

7ffCOsama = — t 1

• • ■' ax

•V <flog(cosam'a + tsinama) -i* .

iâama = - — * ~zy-- ’

DigiWzed by Googli

et les quantitéssous le signe logarithmique s’expriment comme il suit:

.• A an»

■i Kx

• ^ cosam

2Kx

(i — ay^cos-r + gj( i — 2v/q°cosjr-t-g*)(i— 2V^ChSJ?4-g‘)...

(i-+-2V^cosa:-f-(7)(i-t-2v^^“cosx-i-9’)(i-f-2^cosx-h^*)..-’

Aanv-

aKar

i/rsinam

aKâr

-( I — — ^sinx — (/)( I;:— ay^— .^*sinx — :y»)( i — i^—q*s\nx — g’')...

{ i+ay'— ÿsina^^^X i — a/— g’sinx — ^‘sinar — (J')f-

, ^ J 7. K X a Kx ,

cùsam ^-i-rslnam •

~ ( ï — qé^^ ( I q>e-^* ) { i — ç‘e’'*) i . . ’ * ’

de sorte qu’un calcul tout semblable a celui qui a été fait précédemment conefuit aux formules suivantes:

AK . aKa: ^ sin je ^tf^sinSar ^sinSjc

sin am ^ -+■ ^ ; h ^ — ^,-4-

it I — q I — q’ - • T — q’’ ^

2ir

aKa? > \fqcosx '■ \Ja’cos3x ^cosSx

cos am = — ^ -f- — 1- 14 — J

2jr 7t 1-+-9 i-\-q' i + q*

K aKar i ocosaje q^CÂ)^âx a^cosGx '

— a am =7^-1- 2 — -f- 2 --î — |- ’ — : u. •.

2 7r ir 4 >-1-9 1-1-7' n-ç*

Quant aux expressions des quantités

I ' i- Aamar — A'cosamar,

' ■ Aamx-h «Yrsin ama:,

cosamar-i-isinama;J '

dont nous venons de nous servir, nous nous bomeronsà établir l’une d’elles, la même méthode s'appliquant aux autres, et c’est la dernière que nous choisirons, les précédentes se trouvant dans les /'««rfnmcn/u.carellesselirentde l’équation (S)page86,

NOTE SUR LA THÉORIE

en y changeant pour la première ^ en - — x et pour la seconde q en — q. ' ' • '

Â cet efTet, soit pour un instant, comme p. 38i,

<f{x)==i — . ■ l’expression qu’il s’agit de démontrer égale à cos am a; + isin am a?,

prendra celte forme . . . ■

inx - , ^ ’ ’

ip( — X-+- iK') f(x-h 3îK')ÿ( — a:-t-5/K') ■ ç(a?-t-iK')Ÿ( — a; -f- 3iK') a: 4- 5tK' ) , . . ’

d’où l’on voit qu’on la ramènera déjà à avoir 0 (x) pour dénominateur en multipliant les deux termes par

A désignant une constante. Faisons donc

ÎTZX

4>(x) = Ae ÿ’{— x-t- iK')/ÿ*(^+3.iK') <p’( — x-h5iK'). . on aura évidemment - ,

et en second lieu

ÿ>(x-+-3jK')

-^(*-t-2iK0 = <l>(x)e "•

Or on satisfait de la manière la plus générale par des fonctions entières aux deux conditions:

*(x-\-^ifL') = ^(x)e

DES FONCTIONS ELUPTIQCES.

en prenant

. ‘4.{x) = CH(T)-4-C,H.(ar), de sorte qu’on peut poser

titx

y(— x+/K')?(^+3tK')y(— j: + 5tK’).

iK')if( — ar-+-3j’K')y(x — 5/K').. .

CH(a?) +C|H| (jr)

: A cosam.r + iB sinam x,

en désignant par A et B des constantes, qu’on déterminera par une hypothèse particulière. Soit par exemple a: = o et x=rK, on obtiendra immédiatement A= B= i, ce qui démontre notre formule.

A cette occasion je remarquerai que la manière la plus générale de satisfaire par des fonctions entières aux conditions

!4>(a:-l-4K) = 't>(ar) " .

qui comprennent les précédentes, est de prendre avec quatre constantes arbitraires

<t>(a;) = A©('ar) -|-BH(ar)-|^ C0,.'(ar) + DH,(a:). ^

Celte expression qu’on voit à priori être solution, par les relations de la page 3g4, est effectivement la plus générale, car en supposant > -

OU plutôt

m* minx

<i> (a:) = 'S.a^q “i e la seconde de ces conditions conduira à poser

ce qui ne laisse bien subsister que quatre constantes arbitraires dans l’expression de 4>( a;). ’ ; •

NOTK SVR r.A .theouie;

II. — Des séries précédentes ordonnées suivant les puissances

deq. ' ^

Cés développemenls se sont ül'ferts d’eux-mômes dans ce qui précède; ainsi, avant d’effectuer la sommation des progressions géométriques, a-t-on oljtenu par exemple :

/rK . aKa: .

sinam = sina? v<? (’ 4-Ç -H î’-f- • • ■ ) '

2ir

■sin 3a: y' 4-...)

■ sin 5a: ( i -I- -K «/'“-l-...)

= sIna:2V</”’*'' -

■+- sin 3a: ^ \/q‘^

sin:

ou bien, sous la forme d’une somtne double.

aKa: ‘ v' ■ < (■»,«+

sinam = > sin (aji-r 0 ■

Faisons donc ' ' ' „

(ap-(- I )( 2/n 4-i) = M ,

M représentera tous les nombres impairs, et le coefficient d’un terme quelconque \Jq^, dans la série, sera la somme de toutes les quantités sin{aft-i- i}a:, où au-t-i est un diviseur de M. Et comme -tout diviseur d’un nombre impair est lui-même impair, on pourra écrire plus simplement, en désignant par ft un diviseur de M , ~

If K . a K a:

sin am ;

air 1 n

sin nx.

DF^ rONCriONS ELLIPTIQITE.S.

D’une manière toute semblable on obtiendra

— cos am - — = > ( -

an’ TT

0 “ " cospa;.

\ l’égard de Aamar, si l’on désigne par N = 2’ M un nombre entier quelconque, 2” étant la puissance la pkis élevée du facteur 2 qu’il contienne, de sorte que M soit impair, on aura

^ — Aam :

2 TT n

■(xa:,

où fl représente comme précédemment tout diviseur de nombre impair M. 11 est impossible de ne pas être frappé du caractère arithmétique de ces expressions :

2 sin fix,

) ’ cos fia: ,

cos 2'^*" 'fl’^J

elles Offrent un exemple Ags fonctions numériques qui ont été le sujet des belles recherches de M. Liouville, et la manière si simple dotit elles sont amenées par la théorie des fonctions elliptiques peut aisément faire présumer le rôle de celte

théorie dans l’élude des propriétés des nombres.

III. — Vérification des équations différentielles fondamentales.

Désignons par m et m' tous les nombres impairs positifs et négatifs, par la lettre n tous les nombres entiers pairs et impairs; en posant :

on aura

NOTE SUE LA THéOBIE

i7fK . iKx

■ sin am

— cos am

r TT

iKx

. K ^ aKar ^ — à am = W.