R=:SI4-Î
Or en remplaçant ^ ^ par. ^ — la première somme
DES FONCTIONS ELUPTIQDES.
est
'+9’ ' i + q' ' i-hq^-'
et ces divers termes, respectivement ajoutés à ceux de la seconde, savoir :
i-hq'
donneront autant de fois l’unité qu’il y a de termes, c’est-à-
dire ; joignant à cela la fraction - qui correspond
au terme du milieu, il vient en définitive — 1 = — ,
ce qui est bien le résultat auquel il fallait parvenir. Enfin si l’on suppose M négatif, on observera que l’expression que nous avons considérée change de signe avec M, de sorte que
En effet, si l’on met dans le premier membre m -t- M au lieu de m, on obtiendra identiquement le terme général de la série du second^membre. .
Après avoir ainsi montré par un exemple important de quelle manière les nouveaux développements peuvent, comme ceux qui ont servi de base à la théorie, conduire aux propriétés fondamentales des fonctions elliptiquçs, nous allons présenter sous un point de vue’ plus général la comparaison entre les doux modes d’expressions, en donnant sous forme de série périodique simple une fonction uniforme quelconque à double période.
IV. — Développement en série de sinus et de cosinus d'une fon^ion doublement périodique.
'Nommons F ( a ) la fonction proposée, a et è ses périodes ; voici en premier lieu comment nous définirons les limites de la variable, entre lesquelles sera successivement représentée celte fonction, par un développement en série de sinus et de cosinus qui mqttra en évidence, par exemple, la période n.
47^ ^ NOTE SUR LA THÉORIE
Observons à Æct effet que l’expression • . . . '
z = at->rbu,
en supposant réels t et u, peut représenter toute quantité imaginaire, et que s’il s’agit d’obtenir toutes les valeurs que peut prendre F (z), il suffira, eu égard à la double périodicité, d’attribuer à 7 et « toutes les valeurs réelles comprises entre zéro et l’unité. Nous appliquerons cette remarque aux ra-
^ cines ç de l’équation = o dont dépendent les limitations
que nous avons en vue, et en suivant l’ordre croissant depuis zéro à l’unité des valeurs de «, nous les désignerons par Çi , Çj, • . ■ , , de sorte que ç,- corresponde à « = Cela posé, soit V, une quantité comprise entre m, et «,+i ( * ), les limites exclues, l’expression
ne pourra devenir infinie pour aucune valeur réelle de t, et donnera lieu par suite au développement
• convergent quelle que soit cette variable. Par conséquent, si les quantités ç. sont en nombre fini et égal à n, l’ensemble des (1 séries suivantes :
représentera F ( z ) pour 2 = at-i-bu, t étant quelconque ,
(*) Lil quantité pourra être supposée comprise non-seulemcnt entre u, et xcro, mais encore entre séro et la valeur négative <lo u la plus petite, abstraction faite du signe.
U moindre que l’unité, mais toutefois en excluant les quan-
tités
al -I- buy , ,
' ni -H bu,.
al bu^ ,
Et si l’on reproduit périodiquement les mêmes séries, en faisant croître « depuis l’unité jusqu’à l’infini, et décroître depuis zéro jusqu’à l’inlini négatif, on aura embrassé toute l’étendue des valeurs imaginaires de l’argument et obtenu, sauf les restrictions indiquées, une représentation complète de la fonction. Ceci bien compris, nous allons donner la détermination des quantités A„. .
• Pour cela, nous emploierons la proposition fondamentale du calcul des résidus, exprimée par l’équation
f (z) f/z = a/Vii, '
où le premier membre représente l’intégrale d’une fonction uniforme f(z), prise le long d’un contour fermé quelconque, et A la somme des résidus de f{-s) pour toutes les valeurs de la variable, qui correspondent à des points renfermés dans ce contour. Cette proposition de M. Cauchy, appliquée au cas où le contour est un parallélogramme ayant pour affixes de ses sommets les quantités , . . '
et pour équations de ses côtés ces relations où la variable croll de zéro à l’unité, savoir:
z=p-*ral,‘
• . z=p->ra-\-bt,
donnera
NOTE SUR LA THEORIE
a r f(p+at) de-i-b i ( (p+a-^bt)dt
j {[p + b-i-a{i — t)]dl— b f — 0]®?^
