TT A

ou plus simplement

" f i [p -kjit)dl + b r f(p 4- o-hàt) dl '

7 — rt r f( P -i- b-hdl)dl-T-b r î{p~\- bt)dt = iii^ d.

D’ailleurs et d’après la signiGcation précédemment indiquée, A représentera la somme des résidus de f(z) pour toutes

les racines ç de l’équation — î— r = o, dont les valeurs peuvent

être représehtées par la formule . r •

t ç ^ — P -t— dt bit , ' , - •

en supposant l et u compris entre zéro et l’uoité. Cela posé, l’équation • . ^

donnant

nous appliquerons la relation ( i ) en faisant

♦ . — amfTT ■ ’ .»*

Comme bn a évidemment . ' '

'•> £{z-hè)=f(z)q-*”v \

îr’,'

isr ■

USt. ^

DES FONCTIONS ELLIPTIQDES.

en posant, ainsi que plus haut ,

le premier membre de l’équation se réduira à

Quant au second, c’est-à-dire à la somme des résidus de la fonction,

— 2mi;t - — ^

pour 2= ç, , ç, Ç , nous supposerons pour simplifier que ces quantités soient des racines simples de l’équation

alors en désignant par R/ là limite de pour • = o, on

trouvera immédiatement '

3/nur — /

— — amÎTT —

* ^-|-Ra6 ^ ^

— a/niTT — I,

On en conclut le développement cherché de la fonction F(i) pour z = at-+- 6u, sous cette forme

F(2)=const-h

où nous ajoutons une constante arbitraire, en supprimant dans chaque somme le terme qui correspond à /n = o. Pour ce cas effectivement l’équation

ne peut, comme on le voit, déterminer et donne seulement A = O, c’est-à-dire ■ . 'R,-t-R,-f-...-j-R^=o.

KOTE son LA TiléORIE ‘

Mais, avant d’aller plus loin, faisons de suite une application de la formule générale que nous venons d’obtenir en supposantF(2) = sinama. Soit alors

on aura

sinam2=

A=3iK',

Çî = I K’ -H 2 K ,

Ri = lim t si q = e =

sinam(/K'-|-t) = -, k

et par suite

I — fl-™ ^ ,

iK'-ï

-const

V' ^ aK ver”*" '

7^ q-m [ ' “ ( - 0" ] H“ consi

On voit qu’on peut ne conserver que les valeurs impaires de ' m, de sorte qu’en supposant nulle la constante, on trouvera immédiatement ‘ -

tkK . 2 K Z '

sin am = > ,

ir TT ^

c’est-à-dire pour le second membre la série désignée par U p. 471.

Kevenons aux considérations générales, et surtout à la comparaison des deux développements qui correspondent à 27= et 2 = «/ -(- àu„ Les résidus dans le premier cas

se rapportent aux valeurs Ç, or en passant à l’inter-

valle suivant, défini par la relation z = al+b^„ on sera cou- duit à la série- Ç,, ç^, lJi-i-6, et comme les résidus de

relatifs à î,, ç, + à seront les mêmes, les deux développe-

DES FO.NCnOïîS ELLIPTIQUES.

menls seront, avec l’expression des termes constants.

F(z)= r F(ae-hbrj,)dl-h^R,^^-j- Jo

im -1 (r— Ç,)-.

¥(z)= rF(a<>6u,)rf/ + ^R,2^

’ Jo

am Î^(î— Ç,)

¥«.2'-7:rF^+-- .

Ce sont donc les termes constan*ts que nous avons à comparer. Nous nous servirons pour cela de l’équation déjà employée, en y remplaçant la période b par une quantité arbitraire p, savoir : - ,

« I F(p-i-fil)c/t-hp I F(p -h a-h pe)(Ù

- Jo Jo

^ ■ — a Ç F{p -i- P -h at)dt — p Ç F{p pt)dt=-îinà.

Jo Jor

Si nous supposons />= iu, et p-\~p= 6u„ a se réduira au seul résidu de F(z) qui correspond à^ = ï, , et l’on aura immédiatement, en divisant par a, la relation

Ç' F{at + bM,)dt— f'F^at-hb^J.)d^ = — R,. Jo Jo ^

Nous pouvons donc ramener les deux développements à ne contenir absolument que les mêmes éléments analytiques, de sorte que, le premier étant '

c + îL- R V ^ R, y - -

..■^-îiîIr yi —

4^2 NOTE SUR LA THéoRlE

Le second, en réunissant les termes en K,, s’écrira ainsi:

[nm— (î— Ç,— t) • sm— (*— Ç,)'

y 1 ih — RiV 1- —

De là se lire une conséquence importante et qui justifiera ce' que nous avons annoncé plus haut, sur le rôle de la fonction de seconde espece.

Remarquons, en effet, que les diverses séries affectées des '

facteurs R,, R,, etc., proviennent de ce seul développement i,

en y remplaçant z par z — ç,, z — ç,, etc., et z — ç, — b dans le second cas. Or, en mettant z — - au lieu de z, ce dévelop-

pement prend la forme

qui nous rappelle immédiatement une .expression analytique bien connue. Soit, en effet, a = aK, ô = 2iK', d’où q = </, on aura ,