MT

'■'ir

0'{z) in^g^e are

qi>

re g - .

Nous pourrons, par conséquent, écrire pour z=-at -\- Av,

et pour, Z =: a/ H- Au, '

[ItSeSt- ï]

C’est en ce moment que se manifeste toute l’importance de la propriété caractéristique de la fonction de seconde espece relativement à la double périodicité. Effectivement les relations

Z (x 4- ■?. I K' ) = Z ( ar ) -J- 2 « J',

équivalent à celles-ci :

|e'(a: — 2;K') ©'(a:) i'tz

d’où l’on voit que l’on peut ramener à une seule les deux formules de développement, par l’introduction de la transcen-

e'(z — g, — 2>'K') in

se réduit à

dante, puisque la quantité

0(3 — îîi ) . ,

De là résulte une relation analytique générale subsistant dans toute l’étendue des valeurs de l’argument, et dont la forme définitive, en passant de F{x — <K' ) à F(4), s’obtiendra comme il suit. Rappelons d^abord que l’on a

y - . — ^ (ux-t-iK')

0(ar4-iK') = jH(a:)e ^

d’où, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres, '

0'(ar4-j’K') H'(ar) iir

0(x -h iK'} H(a:) 2K,.

NOTE SUR LA THEORIE

Il s’ensuit qu’en menant z4-,iK' à la place de a,, on obtiendra ,

et plus simplement, puisque la somme des résidus est nulle.

• F(^)--^+R4T(7Tr^,+R.ÏÏ(7=^+--’+^H^

Dans le cas enfin où ç, au lieu d’être une racine simple de l’é- » quation ~rj—, = o, serait racine multiple d’ordre n, ce qui don- *■ nerait lieu à la relation >

le seul terme R ,

. Il(^ — Ç) mule par l’ensemble

.devrait être remplacé dans la for-

.U(a-Ç) ''’rfz [

rn'(^-ç)'

1 {— iJ”-'A d"--

rH'(a-çri

f ^ . I.2.. n— 2 dz

Lll(Z-Ç)J

, i.2...n — 1 dz

Lll(z-Ç)J

V, — Proposition de M. Lioiiville.

' Nous fonderons la démonstration sur la formule précédente, en y supposant . ’ • . : .

'i>(z) étant une fonetion doublement périodique uniforme dont ' les périodes' seront, comme plus haut, a K et 2 /K'. Alors les

• Digiüzaj) by Googlo

DES FOStmONS ELLIPTIQrF^.

racines ( comprendront les solutions des équations ' ' ( <l'(ü) = o.

Nous désignerons les premières par ç et les secondes par ç', en admettant toujours qu’elles soient représentées par la formule

2K/ -I- 2îK'm, ■’

r et « restant compris entre zéro et l’unité. A l’égard des ré-

sidus de

5 on sait qu’ils sont égaux à 4-1 ou à — i sui-

vant qu’ils se rapportent aux quantités % ou XJ , et comme leur somme est nulle, on est amené à la conséquence remarquable què ces quantités î et Xj sont précisément en même nombre. Cela posé, et en désignant ce nombre par «, on aura

11 { 2 if, ) H ( 2 ç7)

ir(z-