dx* 1,2.3 dx
H- etc.
dz
Si l’on fait il viendra z= ^«dx et
J udx = h 2m-4- aA*ï
du
dx
-pA* ^
dx*
etc..
en représentant par a, p, 7, etc. les coefficients numériques; on tirera de là .
2M=jj/«dx-aAZg^-pA*2^-etC.,
expression qui, par le changement de u en etc., con-
duit aux suivantes :
du 1 .d’u ... d’u
^ d’ H I du
dx’ A dx
— -etc.
dx*
dx* — A dx’ “ dï^ “ dP ~ etc. (*),
(*) On forme aussi ces expressions en obserrant que 2 ^ , ce
dx dx
qui se prouve ainsi : on a d'abord d A u = A d u , puisque
dAu = d[f(x-<-*)-f(a:)] = [f'(x-(-A)-f'(*)}dr,
Adu = Af'(x)dx= [f'(x-*-4)-f'(x)]dx; et ensuite, si l’on pose Eu = U, ce qui donne u =: AO, il vient duE=dAU = AdU,
d'où
2dur=£AdU = dO=,d2u. '
dx’
BT DBS SERIES. 45
avec lesquelles on élimiaera successivement (^è la valeur de su les fonctions
. d U dur’
et il est aisé de voir que le résultat sera nécessairement de la
forme ,
I,.. . ^idu ,.d’u
iu = j^Ju^x + Au + BA — 4- CA’ + etc.
La détermination des coefficients A, B, C, etc., s’opère ici comme dans le n“ 391, par la considération de la fonction particulière e*, pour laquelle on trouve
se-=^j— , fe^Ax = e-, =
d’où il suit
—T — T 4“ A 4“ BA 4“ CA* 4" etc.,
ce qui montre que les coefficients A, B, C, etc., ne sont autre chose que ceux qui multiplient les puissances de A dans le
développement de la fonction ■— » réduite en série ascendante par rapport à cette lettre.
Si l’on met pour e* — i sa valeur
h* A’ ' . /awA
il ne sera pas difficile de calculer au moins les premiers coefficients A, B, C, etc.: on trouvera ,
A = — -» B = -^> C = o, D = E=o, etc.,
et par conséquent , , .
2u = T JuAx U -t j — 3“^+ etc. { ).
A 2 12 ax ■J20 da:’ ' '
(*) Tous les coefficients des puissances paires de h sont nuis; cela est prouvé, ainsi que la loi générale des autres, dans le Traité in*4^, t. III, p. 106 et suiv*
W0. On obtiendra de la même manière et sans plus de difficulté les intégrales ou Vu, zz’a, ou et en général 2"«; car la formule
â"2 = -i — A« + a^ iA«+i4-fi2 ÎA-+»t.etc
d*” da:*+-' dar+» -i- etc.,
conduit à
" dïi + etc.
Faisant ensuite «, on aura z = /"•udar, et par consé-
quent
“"« = - aAz- ^ - PA’Z” etc.,
où l’on mettra successivement^, etc., au lieu de «, pour obtenir les valeurs
P''’^" etc.,
etc..
à l’aide desquelles on chassera 2"^, 2"^, etc., de l’expression de Vu. L’équation finale pourra être représentée par
-4- ttda^-
-/—«dar*— ^/«
dx
+ N„-4-PA^-|4-Q/.^“4-etc.; et lorsqu’on fera « = «*, elle deviendra
-t- N -f- P A -1- Q ^ etc \
kT DES SÉRIES. 4?
les coefficients A, B,. . . , M, N, etc., sont donc encore ici ceux qui multiplient les puissances de h dans le développement
de — r;,; et de là résulte, entre les intégrales et les puis-
sances négatives, une analogie qui n’est que la continuation de celle que les différences ont avec les puissances positives, en sorte que l’on doit regarder les intégrales comme des différences d’un ordre dont l’exposant est négatif. Il est visible, en effet, que, d’après ce qu’on vient de voir, on peut poser
pourvu qu’après le développement on change les puissan- '
df<r dr« . . ^ ‘d~r«
ces -2 — en t — en observant que dans — = ari’uaxi’, d“
Axf Axf ^ dx~P
équivaut à ou bien encore écrire
expressions qui se déduisent de 'celles de (391), en affectant l’exposant m du signe — (*).
407. L’intégration par parties se pratique sur.les différences aussi bien que sur les différentielles. Soient P et Q deux fonctions quelconques de ic ; on fera «
zPQ=QïP -hi,
Z étant une fonction inconnue de la même variable ; et prenant
{*) On a de même, par le seul changement du signe de rr, dans la formule = [1 (ï 4- A)]"u, l’expression des intégrales aux différentielles, savoir:
dx"
' ^J"udx" = [l(i A)]~"u, en changeant A“‘o en 2*«. Par là on obtient h .
quatre formules, qui se réduisent à deux, en ne déterminant pas le signe de a. ( Pcy'." le rrai/é in-i® t. III, p. loi .)
48 DES DIFPéfiENCES
la difTérence de chaque membre de cette équation, on aura
PQ = (Q-l- aQ)2(P + aP) — Q2]^-4- az;
développant et réduisant, en observant aue QzaP = PQ, il viendra
o = aQz(P-i-aP) + az, ou Az = — aQs(P + aP), et par conséquent
z = — 2AQ2(P + AP),
puis
