P, H- A2P, = 2(P, + AP.) = 2P

on en déduira

2AQ2P, =rAQ2»P, — 2A>Q2’P,, et la formule (i) deviendra

(2) 2PQ=Q2P — aQ2>P, -f- 2A’Q2’P,.

Changeant ensuite dans l’équation (A), Q en A‘Q, P en 2’P,, puis remarquant que ,

2»P, + A2’P, = 2’Pj,

on trouvera

2A>Q2*P, = A'QX’P, — 2A’Q2=P,, ,

et la formule (2) deviendra

2PQ = Q2P — AQ2’P, -t- A»Q2>P, — 2A»Q2’P,,

ce qui conduit à l’expression élégante

2PQ = Q2P — aQz’P, + A’Oi^’Pi

— a’Q2‘P,-4- a'Qi'P, — etc..

donnée par Taylor, dans les Transactions philosophiques, n” 353, année 1717. -■

Si l’on y met pour P,, P„ P,, etc., leurs valeurs en P, et qu’on effectue les intégrations qui deviennent possibles, elle se change en . .

îPQ = QsP— AQ (2»P + ïP) 4- A’Q (2*P + 2S’P -H ïP)

— A’Q(s‘P -h 3z»P 4-32’P-f- 2P) + etc.

C’est sous cette forme que Condorcet l’a présentée dans son Essai sur l'application de l’Analyse à la probabilité des décisions, page i63.

, Elle s’arrête toutes les fois que la fonction Q mène à des différences constantes dans un ordre quelconque; et si la fonction P est susceptible d’un nombre suffisant d’intégrations , successives, on parvient à l’intégrale exacte de la fonction PQ. '

Application da calcul des différences à la sommation des suites. '