Dans une suite quelconque

le terme général u„ peut être regardé comme la différence de la fonction qui exprime la somme des termes qui le précèdent, en sorte que si l’on fait

<- ( M H- M| -H Mj,. • • , + M»— I =S»I,

on aura < . .

aS,= m. et S„, = s«, (394).

Il suit de là que la somme entière, en y comprenant le ( terme général, sera

On voit aussi que S„ résultant de S,, par le changement de ra en n 1, l’expression de S, peut se déduire de la même manière de celle de su,.

Si donc f (a:) désigne le terme général d’une série quel- 6*éd. II. , ‘ ■ 4 , '

DES DIFFÉBENGES

conque, dans laquelle la différence de la variable indépendante soit h, la somme de cette série, que je représenterai parSf(a:), sera

Sf(ar)= Sf(a:)-i-f(a;),

ou bien s’obtiendra en mettant a; -t- A au lieu de x, dans 2f(a:); et il ne faut pas manquer d’ajouter au résultat une constante arbitraire.

Lorsqu’on ne demande la somme de la suite que pour des valeurs entières de l’indice, la constante arbitraire étant alors une véritable constante (396), se détermine comme celle des intégrales aux différentielles. Si l’on fait commencer la suite au terme correspondant à l’indice x = a, et que l’on ait en gé< nérai , '

8f(a:) = F(ar) -H co/M/., ' ■

il faut que

F(«) + co/M/. =f(a),

d’où

co/w/. = f (a) — F (a) et Sf(ar) =3F(*) — F(a)-t-f(«).

Si l’on arrête la suite au terme correspondant à l’indice x= a-\- nh, il viendra

f(a)-t-f(a-t“A)-t*f(aH-aA)...+ f^iH- «A)

= F ( a 4- nA) — F (a) -(- f ( a ),

ce qui se réduit à '

f(rt 4- A) 4- f (rt 4- aA ) — 4- f (fl 4- nh] = F(a 4- nA) — F(«), -

et montre, comme on devait s’y attendre, que le terme f ( a) ne feit point partie de la somme Sf(x), prise entre les limites x = a et X = a + nh, mais que si l’on veut englober ce terme, il faut prendre la somme depuis j; = a — A jusqu’à x=.a+ nh (').

(*) Dans le texte, je nie suis confurmé à la notation adoptée par Euler.

( Voy. InilUùtioms Galculi diffirentialii, vol. I,<ap. a, $§ 53 et 5g.) Il donne ii S , le nom de lei-rna sommaloire, et ne comprend point dans la quantité qu’il a dési-

409. Venons maintenant aux applications. On déduira des formules du n" 398,

S.T (æ: + A) (æ: + aA) [a; + (m — i)A]

X [x -h h) x{x ^h) [x-^ mh)

x{x-lr h) h(x -f- A) [a; (/;t 4]

const.j

■(/»— ijA(x+A)(^:-t-2A)....[xH-(TO— i)A

• const..

expressions' au moyen desquelles on obtiendra les sommes des séries directes et inverses des nombres figurés (*).

Pour les premières, dont les termes généraux sont

X x(x+i) x(x-hi)[x-\-2) ' - ■

7’ — 7— — > , '» etc.,

on fait A = I, et successivement m = 1 , /w = a, etc.; il vient

b - = — -+■ const.,

S = — i. i-i-5 ■+■ const.,

\ Q ^ ^ n O / const»

etc,, • . - '

0nce par 2 (oap. i, § 96) la dilférence dont elle s^accrolt. Suivant cette convenu tioD, la funcUon est celle qui s'accroît de u, quand x se change en r + Ax; mais Laplace, dans sa Mécanique céleste y ayant fait un usage continuel de la lettre 2 pour indiquer la somme complète, il a été suivi par les autres géomè* très j et si l’on fait a nli = è, la somme

sera représentée par 2f(x).

(*) yojret pour ces séries le Compl. dcsÊlém. d' Algèbre, Il est bon de remarquer qu’elles sont identiques avec les coefficients des puissances de dans le développement de (i

DES DIFFÉRGKCBS

OÙ l’on peut supprimer les constantes, parce que toutes ces expressions s’évanouissent quand ar=o.

Passant aux séries inverses, dont les termes généraux sont

* î i 1 5 ^ etc. ,

- • X Æ‘(a:-4-i) ar(x-l- 1) (ar + a) , - -

on trouve la seconde formule en défaut pour la première série, à cause du diviseur i — i ; mais pour les autres, on «