I .a.3S etc
+ const.,
a;(ar-l- i) (o:+2) (ar-f-i)(a: + 2)
+ const..
En déterminant les constantes pour que les sommes partent du premier terme, qui est l’unité dans chaque série, on trouve les expressions
5 etc..
qui, se réduisant à y’ etc., lorsque x est inflni, donnent les limites des séries
3 b lo
4 lO 20
etc.
i- etc..
X (ar4- i)(x-h2)
etc..
410. En mettant x + h au lieu de x, dans l’expression de 2ic" (4011, on obtiendra de même Sa:", c’est-à-dire la somme des séries - %
Si l’on développe en particulier Sx», et qu’on fasse /« = i , il
ET DES SEBIES,
viendra, après les réductions, ' - .
. Sx’ = TT. ?
pour la somme de ia suite des carrés i, 4, 9, • • • , x’. 411. On conclura des n®‘ 403, 404, que <
-Sa* =
■ const.
cos l X 4- - h j
sin a: = ^ — J -
* 2 sin - h
in(x + i)i)
•t- const..
S cos X =
const.
2 sin - A
Pour obtenir, par exemple, la somme de la série ,
sin a, sin(a4-A),.. , sin(a4-nA),
il faudra prendre S sin depuis x = a — A jusqu’à x = a-|-»A
(408), et il viendra - ' . • '
cos
^A^ — cos^a+nA+^Ay sin ^«4-^nAyin ^(/H-i)A
2 sin - A
sin - A
L’expression générale de 2« flu n® 405, donne pour S« la formule générale f,
c » Ada A*d’«
a« = T /Md2T4--M H --i— :+ etc. 4- const.,
h"' 2 i2da: 72oda;’ '
dont on trouvera plus loin (435) une application remarquable (*). . ,,
(*) On tire aussi de Ih
. , , . I \ i*du *• d*<i . • . -
\ a / ladx 750 dx*
sdrie qui peut remplacer airanta|;eusement la formule ( III ) du n" 855, et dont on calculera la valeur entre les limites assignées à l’intégrale fuir.
SI l’on fait usage des signes Indiqués dans la note du n® a3 j, u sera rem-
DES DIFFésENCES
De l’intégration des équations aux différences à deux variables.
412. Jusqu’ici j’ai supposé que la différence de la fonction cherchée était donnée explicitement par la variable indépendante; je vais maintenant m’occuper des cas où l’on a seulement une équation contenant cette fonction, ses différences, la variable indépendante et son acccoissement. Si la fonction y dépend d’une variable x dont l’accroissement soit constant, l’équation proposée sera comprise dans la formule générale
F (^. r> ^7. etc.) = 0,
Il est à propos d’observer que l’on peut en faire disparaître
placé par désignant les limites del’intégralechercliéc,A^ïf(x)-l-^f(x)J
deviendra, par le n» 594 ,
oe qui n’est autre chose que la première ligne de la formule (IH), n®* a33 et 237, à quoi il faudra ajouter les termes
“ 7^ — f'f")] + ^ — f"(o)]— etc. -t- coiMf.
L’expression de S b est due k Euler, comme celles des n®* 930-K55 ( Voy./iutf iutiones Calculé dij/errntialis, pars U, cap. V, § 109, et fnst. CalcuU integraliSf vol. 1, sect. I, cap. VU) ; celle de /udxse transforme utilement quand on y substituer au lieu des coefficients différentiels, leurs Taleurs en différences (592). Le résultat) comme ceux du n® 589» peut s’appliquer aux foocUons dont on na pas l'expression analytique, mais seulement une suite de valeurs numériques. (Fer- le Traité in-40, t. III, p. iSaetsuiv.)
On voit encore dans cette formule, comme k la fin du n® 401, que plus la différence h est petite) plus en général A 2 et approche d’èlre égale à sorte que cette dernière est la limite de Vautre ; mais tcla suppose que le terme suivant — -uh u’est pas comparable au premier. ( fox» la Nouvelle Théorie de
faction capillaire, par M. Poisson, p. aSi, ou le ao® cahier du Journal de l'École Polxtechniifue, p. ! j.)
M. Gauss, dans le t, III, de% Commentationcs Socîetatis Gottingensis reeentiores, ann. 1814-1816) a traité avec beaucoup d’étendue le même sujet, sur lequel M. Poisson est revenu dans le t. VI des Nouveaux Uémoires de VAcadémie des Scicttces%
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nd-a
les différences ay, à‘y, etc., en les remplaçant par les valeurs consécutives de y, puisqu’on a
i^y=yi—y, etc. (377);
et le résultat prendra la forme
F {x,y,y„yu etc.) = o,
dans laquelle on voit que toute équation aux différences fait connaître la valeur de la fonction cherchée, par le moyen d’un certain nombre de valeurs antécédentes.
Si l’équation était du premier ordre, par exemple, on aurait J,, par le moyen de j; si elle était du second, on en tirerait y„ exprimé par y, et par y, et ainsi de suite.
Il est facile de s’apercevoir qu’une équation quelconque aux différences équivaut à une série, dans laquelle on obtient chaque terme par le moyen de sa relation avec ceux qui le précèdent et avec l’indice qui marque le rang qu’il occupe. En effet, lorsqu’on a, par exemple, y,:^[{ar, y, y,), on en déduit ‘ y, = f(x-t-A, y„y,),y4= f(»'4-aA, y„y,), etc., A désignant l’accroissement de x, et l’on forme ainsi la série
r. X» r» etc.,
au moyen de ses deux premiers termes.
Ce cas particulier suffît pour montrer que dans la série résultante d'une équation quelconque aux différences, il y aura toujours autant de termes arbitraires qu’il y a d’unités dans t exposant de tordre de cette équation. '■
413. On peut changer toute équation aux différences en une équation différentielle d’un ordre infini, en substituant, au lieu de Ay, A’y, etc., leurs développements d’après le n“ 391 ; et il n’est pas moins évident que l’on convertirait aussi toute équation différentielle en une équation aux différences d’un ordre infini, en remplaçant les coefficients différentiels par leurs développements tirés de la formule du n“ 3^.
11 ne parait pas que ces transformations, qui ont l’inconvénient d’introduire un nombre infini de termes, puissent être, en général, fort utiles pour l’intégration des équations; mais elles sont très-nropres à faire sentir ce qui distingue le Calcul
DES DIFFÉBENCES
différentiel du Calcul aux différences. Elles prouvent que, par la nature de ce dernier, les différences de la variable indépendante doivent être nécessairement déterminées; car si l’on avait une équation entre
ri
dans laquelle l’accroissement demeurât indéterminé, qu’on la développât suivant les puissances de ^x, A’j, etc., ce qui lui donnerait la forme kàx + BAr
