C Ax’ + D Ax A)' -t- Ea + F A

-f- etc.

on y pourrait substituer, au lieu de Aj, A’j, etc., leurs développements; et comme Ax y resterait encore indéterminé, il faudrait que les coefficients des diverses puissances de cet accroissement s’évanouissent d’eux-mêmes. On obtiendrait ainsi, entre les variables x, y et leurs différentielles, un nombre infini d’équations qui devraient s’accorder entre elles, pour que la proposée signifiât quelque chose; et, dans ce cas, elle ne serait équivalente qu’à la première de ces équations, dont les autres deviendraient les différentielles successives.

En ne supposant l’équation aux différences que du premier ordre, ce qui la réduit à -

Aax-(-Ba^-+- Cax’ -h D axa 7' 4- Ea^j'-’ 4- etc. = o, et prenant

<fjAx d\>*Ax’ d’/ Ax^

il vient

dx

dx/ A

dx’ 1 .2 dx’ 1.2.3

^*'dx’

etc..

dx

Ax

Ax’ 4- etc. = o.

d’où l’on tire

«dr . r. dr' r.dr „ B d’y

B -i- A — O, E — • -f- D -J — + C H . ' = O, etc

Ax dj;’ dx 1,2 dj:’

et si celle suite d’équations ne peut avoir lieu, la proposée ne pourra se vérifier qu’en assignant à Ax une valeur particulière.

414. Ces préliminaires posés, j’entre en matière par l’intégration de l’équation générale du premier degré et du premier ordre. Je suppose que la différence de la variable x, ou \x, étant I, on ait l’équation d7'-|-P7'=Q, analogue à l’équatiôn différentielle traitée dans le n“ 285; un procédé semblable à celui du numéro cité conduit à l’intégrale de la première.

Si l’on fait j= uz, il viendra

■ ' UAZ + ZAu -h AUAZ, '

ce qui changera l’équation proposée en

mAz -t- -H -H Pi« = Q;

et posant séparément

zAu + Vuz = 0, ou a«-hPm = o,

il restera - ,

• mAz 4- amAz = Q,

d’où l’on tirera