AZ
et Z = 2
U -h Au « 4- Am
la question se réduit donc à intégrer l’équation AM 4- Pm = O,
dans laquelle on peut séparer les variables, en lui donnant la forme ~ = — puisque P est supposé ne contenir que x. Soit M = e'; il en résultera
Aa = e'(e*‘— i) et — =e^‘ — i = — P,
d’où l’on tirera
DES DIPFÉBENCES
e^‘=ri— P, at = i(i— P) et / = 2l(i-p).
Mais la somme des logarithmes de la fonction i — P répond au produit continuel des valeurs successives que reçoit i — P entre les limites de l’intégrale, c’est-à-dire à
si l’on désigne ce produit par[i — P»-i], l’exposant a: marquant le nombre des facteurs, on aura
d’où l’on conclura
et si l’on fait attention que « -f- Au = «, , on obtiendra
Jr-w Q
M-f-A«z=[i — p^] et z=:i
ce qui donnera enfin
la constante arbitraire étant comprise dans l'intégrale indiquée.
C’est à peu près ainsi que Lagrange, qui le premier fit voir l’analogie que les équations aux différences du premier degré ont avec les équations différentielles du même degré, a intégré, en 1761, l'équation traitée ci-dessus; il applique ensuite son résultat à l’équation Ji=R/-hQ, qui revient à r-+- Rj-t- Q. En comparant cette dernière avec Pj= Q, on a P = I — R, i — P = R, et par conséquent
r=[iu,]î-§^.
Quoique le développement du produit [ 1 — Pi,] semble
ET DES SÉniES.
supposer que la différence de x soit égale à l’unité, on peut néanmoins conserver l’expression précédente, lorsque ^x — ^, en concevant qu’elle répond à
(i — P,^) (i — P,rf) (1 — P,,i) etc.,
ou bien transformer l’équation proposée en une autre, en faisant x= hx', ce qui donnerait ^x = h&x' et i.
Lorsque le coefficient R est constant, on a
et s’il en est de même de Q, l’intégration indiquée s’effectue facilement ; on obtient dans ce cas
Hr+I
et
En général, la valeur de j pourra être délivrée du signe d’intégration toutes les fois que Q sera une fonction rationnelle et entière de x.
415. C’est la méthode donnée par d’Alembert, pour les équations différentielles du premier degré, et dont j’ai fait co'nnaltre l’esprit (320), que Lagrange a d’abord appliquée aux équations de ce degré et d’un ordre quelconque aux différences; mais j’emploierai ici le procédé par lequel il est revenu sur ce sujet en 1775, et que j’ai déjà exposé, d’après lui, pour les équations différentielles.
Premièrement, la valeur complète dej'* satisfaisant à l’équation
(A) + P* rx+»-< . -f- üx r* = O»
d’un ordre quelconque et du premier degré par rapport à la fonction 7x, s’obtient comme celle de jdans le n“ 309, lorsqu’on en connaît un nombre n de raleurs particulières ; car il est clair que si
yj yJ! yje
J*> J Xt J tf' . ,
6o DES DIFFÉBENCES
sont des fonctions de x qui satisfassent séparément à l’équation (A), l’expression
y. = cy. + ÇTf, 4- cy", -h etc.
y satisfera pareillement, sans détermination des constantes C', C", C*, etc. ; et quand le nombre de ses termes, supposés absolument irréductibles entre eux, sera n, elle sera l’intégrale complète de cette équation, puisqu’elle renfermera n constantes arbitraires. . ' .
Secondement, l’équation ' '
f®) 1 4“ Q*yv+«— 1 ... 4* ü, y» — V* ,
qui a, de plus que la précédente, un second membre dépendant de X seul, s’y ramène de même que dans le n* 314, en regardant les constantes C', C", C", etc. comme des fonctions de X. Dans cette hypothèse, l’expression
y. = C', 4- C", f. 4- C-x f. -H etc.
conduit d’aburd à
“ C’x-ny’ x+i 4“ C^x+iÿ” x-4-1 4* C^x+i y” x+i 4“ etc., résultat qui se transforme en
yx+. = C'xy'x+i -H C"x y"x+i C", 4- etc.
