A C'x + y x+^ A C"x 4- y"x4-. A C"x 4- etc

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ET DES SIÉRIES.

résultat que l’on réduit à "

= C'* /r-t-, H- C", /'x+. -4- C", -4- etc., par la supposition de

(a) /x+,AC'x+j"x+iAC"x-Hy'x+>AC"x + etc. =o.

Faisant varier x une troisième fois, on parvient à ' , ‘ '

Jx+a == C'x Jx+i -4- C"x 7"x+s + C"x 7”x+a -t- etc. ,

en posant

(3) /x+>AC'x + /'x4-aAC''x+/''x+aAC"'x + elC. = 0, ^ •

et l’on continue ainsi jusqu’aux équations

(n— i) /x+n-iAC',+/'x+„, AC"x+/"xH.iAC'"x-+'etc. = O.

Maintenant, si, dans la valeur de jx+«-i , on change x en x -ht, on trouvera '

Xx+„ = C'x /x+» + C"x/'x+x + C'”x/"x+n + etc. ' ;

,+ 7'x+xAC'i+/'x+„AC"x + /"x+«AC'',+ etc.; ; '

mettant dans l’équation (B) les valeurs de ' >

en observant que, par Thypothèse et d’après Téqualion (A),

r'»-e» + I*a:/x+»l -+-Qx/x+,,-a. .+ Ux/x=0,

r"x^, + PxrV»-, +Qx/'x+,-a . +Ux/'x = o, , ' ‘

+ Px/W. + Ox/"x+x-a . . + Ux/”x = O, • . ;

etc., .

il restera

(n) /x+,AC'x-l-/'x+„AC''x+:rx+„AC"x + etc. =Vx

On conçoit facilement qu’avec le secours des équations (i),

(2),...(/i — i), (n), on déterminera en fonctions de x, les > différences aC'x, aC'x, aC'"x, etc. , ce qui réduira la recherche \ des quantités G', C". C", etc., à l’intégration des fonctions d’une seule variable.

DES DIFFÉBENCES

^16. On ne sait pas intégrer en générai l'équation (Â) ; mais lorsque ses coefficients, au lieu d’être des fonctions de x, sont des constantes, que l'on a seulement

(A') ■+■ P.rx+«-< + Qrx+.-. 4- R ■ -H U J, = O,

on y satisfait en faisant == m‘, d’où il résulte

rx+i = /n"^', = =

car elle devient

f A") m" 4- P/n"~' 4- Qwi"-' 4- Rm"*’. . .-f- U = o,

et se vérifie si l’on prend pour l’indéterminée m les racines de celte dernière. Si donc l’on désigne par m', m", m", etc. ces diverses racines, on aura ( numéro précédent)

Celle expression présente, par rapport aux quantités m', /n", m", etc., les mêmes circonstances que l’intégrale de l’équation différentielle

d«j4. Pdxd"~'r 4- Qda:’d"“*f. . .-h Ujdar" = o.

Il peut arriver que parmi les racines de l’équation (A"), il s’en trouve d’imaginaires ou d’égales entre elles. Dans le premier cas, on revient aux quantités réelles par des transformations analogues à celle du n° 310. Dans le second cas, pour rendre complète l’intégrale qui a cessé de l’être, dn a recours à l’artifice employé dans le n” 311.

M7. L’équation (A'), pouvant être considérée comme exprimant la nature d’une série dont un terme quelconque, repré- ’ senté par dépend des n termes qui le précèdent, se rapporte aux séries récurrentes [Complém. des Élém. d -dlg.) dont le terme général esl ^x, et dont l’échelle de relation est

L’intégration de cette équation répond donc à la recherche du terme général de la suite proposée ; mais en n’ayant égard qu’à

la loi de sa formation, les n premiers termes de cette suite sont nécessairement arbitraires ; et si on les suppose donnés, en les désignant par

j'oi r»» r— <*

on pourra former les équations

-t- etc..

+ etc.,

+ Cm"’

■+■ Cm'"’

-J- etc..

+ Cm'"’

-+7 etc..

' -+- Cm'"’-'

-f- etc..

au moyen desquelles on déterminera les constantes C', C', C*,. . . dont le nombre est aussi égal à n. La résolution de ces équations, qui ne sont d’ailleurs que du premier degré, peut être simplifiée par des artifices dont l’exposition ne saurait entrer dans un Traité élémentaire : je me bornerai à faire observer ici que cette recherche se lie avec celle des lois des phénomènes, d’après les observations. M. Libri a fait aussi aux équations linéaires aux différences l’application de la méthode indiquée plus haut pour les différentielles.

Iil8. Les constantes arbitraires qui complètent les intégrales . aux différences, étant des fonctions arbitraires (395), ne peuvent être déterminées en assujettissant ces intégrales à satisfaire à un nombre limité de valeurs données; car il est visible que toute fonction arbitraire comprend implicitement un nombre infini de valeurs arbitraires. Soit pour exemple l’équation

J, = Xif(sin 27r J?, COS2JTX), de laquelle on doive tirer un certain nombre de valeurs ro = a, r. = a', r. = a", etc.

' Si ces valeurs répondent à

x = o, x=i, x = 2, etc.,

on ne pourra satisfaire en général qu’à la première des condi-

64 DES DIFFÉBENCES

lions imposées ; car dès qu’on aura assigné pour ^(sinawx, cos27rar),

une première valeur déterminée, de laquelle il résulte Xo— <*» cette valeur devant se retrouver la même pour les indices x=i, x=2, etc., il s’ensuit que les valeurs de relatives à ces indices, sont aussi déterminées : il faut donc que les quan-' tités données a', a", etc., correspondent à des Indices intermédiaires.

Si, au lieu d’assigner un nombre limité de valeurs isolées, indépendantes les unes des autres, on suppose que dans l’intervalle compris entre x = o et x — i, l’expression doive fournir les mêmes valeurs qu’une équation donnée — la question sera déterminée. En effet, s’il s’agissait de trouver la valeur de j qui correspond à un indice égal à un nombre entier quelconque ni, plus une fraction n, soit commensurable, soit incommensurable, on calculerait la valeur de , d’après l’équation /x= f(^) ; et comparant le résultat avec celui que donne alors l’équation

r« = X„ f (sin 2irn, cos 27rn),

on aurait, pour ce cas, la valeur de

ç(sin 2)rn, cos2it/i),

qui doit être la même que celle de ‘ -

(p[sin2ir(m + n), cosaw(m -t-n)], m étant un nombre entier : l’équation

^, = X<p{sin 2»rar, cosaira:)

devenant par là

^»+, = X,^.,Ÿ(sin27rn, cosa'itw), serait tout à fait déterminée.

La seule condition à laquelle soit assujettie l’équation Xm = ((x), c’est qu’on en tire pour j» et pour^, les mêmes valeurs que de l’équation

Xç sin 2>rjc, cos 2na:).

'ET DES SiÉniES. 65

419. Les considérations géométriques éclaircissent bien ce qui précède. Voici d’abord comment on peut représenter par le cours d’une ligne, l’équation très-simple Aj = o. Si l’on construit, sur la droite AR menée à une distance quel-

conque de l’axe des abscisses OX, parallèlement à cet axe, et divisée en parties AA', A'A", A"A", etc., égales à des coui^ bes telles que

ABA'B'A"B''A"'S, ACA'C'A"C"A" T, ADA'D'A"D"A'‘’Ü, etc.,

passant par les points A; A', A", A”, et composées, entre ces points, départies égales et semblables, ces courbes satisferont à l’équation ^yz=.o. Cela est d’abord évident pour les points A, A', A', A", etc. ; et l’on voit ensuite que, prenant AP = x, AP' = æ: -(- Aar, les arcs

AL et A'L', AM et A'\P, AN et A' N', etc.,

étant égaux et semblables, les ordonnées

LP et L'P', MP et M'P', NP et N'P', etc.,

seront aussi respectivement égales, et l’on aura par conséquent pour chaque courbe, o.

La condition A^ = o n’entraînant point la continuité dans les résultats, les courbes AS, AT, AU, etc;, ne seront point assujetties à cette loi. Le polygone EFE'F'E"F"E"V, composé de parties semblables EFE', E'F' E", etc., donne également O, aux intervalles marqués par Aj; il en serait de même d’une suite d’arcs égaux et semblables d’une courbe quelconque, assemblés d’une manière discontinue, comme 1e sont les arcs GO, G'H', G''H", etc.

.. • , ... . / . X 2»rx\ .

Il est visible que 1 equationy' = çl sin cos donne . lieu à des lignes qui satisfont aux conditions ci-dessus.

420. Passons maintenant à l’équation générale du premier ordre aj=F(x, j). Ayant choisi arbitrairement, ou déterminé, suivant les conditions de là question, le premier point B (^g'.66) de la courbe cherchée, comme l’équation proposée n’apprend rien sur tous les points correspondants à la portion d’abscisse 6» éd. II. 5

■ DES DIFpéRENCES

AA' = Ax, et qu’elle donne seulement l’ordonnée A'B'=^*,, on pourra faire passer par les points B et B' une portion d’une courbe quelconque. Cela fait, pour obtenir la portion correspondante à l’abscisse A'A", on prendra en arrière d’un point quelconque P' de celte abscisse, une distance PP' = AA' = Ax, et élevani l’ordonnée P5I, on mènera MD' parallèle à PP' ; tirant ensuite de l’équation ^y= F (x, y) la valeur de &y pouf l’abscisse AP, cette valeur donnera la droite D'M' qui, jointe à P' D' = PM, fera connaître le point M'. On trouvera de même tous les points de l’arc B' B"; cet arc, employé à son tour comme l’arc BB', donnera ceux du troisième arc B' B", et ainsi de suite.

11 est évident que l’on pourrait, par le même procédé, continuer la courbe en arrière du point A, et que dans tous les cas elle satisfera à l’équation proposée, puisque.les différences Aj=D'M' auront des valeurs conclues de cette équation ; je laisse au lecteur à faire l’application de ce procédé aux équa- > lions du second ordre et des ordres supérieurs. ^

Uüi. On n’a considéré ici les équations aux différences 'que dans l’hypothèse de Ax = const. ; mais lorsqu’on suppose celte dernière différence variable, le sujet prend- beaucoup d’étendue, ainsi qu’on s’en pourra convaincre par la question sui>vaiile :

Trouver une fonction inconnue if{x)de x, telle que si l'on y < change \ en f (x), puis en F(x), F et l désignant des fonctions données, les expressions correspondantes ?[f(x)], y[F(x)], aient entre elles une relation donnée.

Laplace a, par un procédé fort simple, ramené ce genre de problèmes à des équalions'aux différences où la variable indépendante ne reçoit que des accroissements constants. Pour cela il pose f(x) = F(x) = «.représentant une fonc- , lion inconnue de la variable z;ei, si l’on peut résoudre, , par rapport à x, la première de ces équations, on en tirera x = fj(«,), valeur qui transformera F(x) = «.+, en «,4-, = F[f,(«.)] , équation aux différences où la variable z' croit seulement de l’unité. Lorsqu’on saura intégrer celle équation, on aura l’expression de u, en fonction de a ; on ob-

ET DES SIÊRIES. 67

tiendra aussi X en fonction de z; les fonctions r[F(x)] et y[f(x)] deviendront respectivement ?(««}, et on

pourra les représenter par , t*, , ce qui changera en une équation aux différences de fa forme

la relation donnée entre les deux états par lesquels doit passer la fonction f. ^

Je prendrai pour exemple l’équation

" cp{x)» = ?{2X) 4- 2, '

pour laquelle X î= M, , ax = «,+,. De là, on conclut aisément Un., = iu,, équation dont l'intégrale estM, = C.2* (4-14).

Posant ensuite <p(x)= J,, ?(2x) =7*,+,, l’équation proposée devient

et s’intégre en y faisant d’abord

ce qui conduit à

fl*

La dernière de ces valeurs est l’intégrale complète, puisqu’elle renferme une quantité arbitraire a; et l’équation C. 2' = x,

donnant 2*-' = -7; > on aura

2 Li

y, = ,f{x) =a'’^ 4-a résultat qui revient à

si l’on pose, b =

11 faut remarquer que les constantes n et C sont des fonctions qui ne changent pas quand z devient z -h i (395), et par conséquent lorsque x devient aar. •

422. Combinant toujours chaque nouveau point de vue sous lequel les grandeurs peuvent être envisagées, avec les précédents, les Analystes considèrent encore des relations entre les différences et les coefficients différentiels des fonctions inconnues ; et de là naît le Calcul aux différences mêlées.

Les équations

dAv dr ,

dans lesquelles a, b, c désignent des constantes, et où Aa: = i , sont les plus simples de ce genre. On satisfait à toutes les deux en posant y=- Ce"; la première se change en

et la seconde en

m ( e" — I ) -I- am -t-6(e"— i)-t-e = o.

La discussion de ces transformées et l'examen de la nature et de l’étendue des intégrales qui en résultent, sortent des limites que j’ai dû me prescrire ; je n’ai voulu seulement que marquer la place de ces nouvelles recherches (*).

Application du calcul intégral à la théorie des suites.