L’intégration des différentielles à une seule variable
(*) On trouvera plus de détails dans ie Traité in-4", tome III, cbap. 8. J'observerai seulement que le Calcul aux dilTérences mêlées, indiqué d'abord par Condorcet, traité ensuite par MM. Laplace, Paoli et Poisson, répond à des questions de Géométrie résolues antérieurement par Euler, qu’ensuite M. Rabbaco s'est occupé de ces questions et de celles qui sont comprises dans l'énoncé du numéro précédent, en les présentant comme une nouvelle branche d'analyse qu'il nomme Calcul des fonctions ( vo/*. les Transact. phil., anuccs iSiS—i 6*^17, et un article fort étendu, inséré par Augustus do Morgan dans VEncj’clopœdia èli iropolitana). Cet écrit de M. Augustus do Morgan renferme de nombreux rapprochements entre le calcul des fonctions et les hautes branches de l'aualyse.
ayant conduit à des séries, on en a conclu qu’on pouvait représenter une série par une intégrale ; et comme on a des méthodes pour calculer, au moins par approximation, la valeur d’une intégrale entre des limites données (*), on a cherché à remonter d’unp série à l’intégrale dont elle est un des rféveloppements. C’est par ces considérations qu’Eulera créé, pour la sommation des séries et la recherche de leur terme général, des méthodes très-ingénieuses dont voici quelques exemples.
Soit d’abord
H a -f' P na b
X" -H etc.
la série proposée ; on multipliera par px' les deux membres de l’équation
a-f- S 2a -t- 3 . Ma -t- 6
a -h b la+b na + b
et passant ensuite aux différentielles, on aura
a-t-6 *' na-\- b *
Le facteur na-hb disparaîtra du dénominateur du terme général, et par conséquent de tous les autres, si, quelle que soit n, on a p[n-\-r)'— na+ b : on fera donc np = na, rp = b, d’où
ce qui donnera l’équation
dont le second membre ne renferme plus de dénominateurs. De nouvelles opérations, semblables à la précédente, feraient disparaître les facteurs qui resteraient, si le dénominateur en contenait plus d’un.
( • ) \oy. la note de la pape 55.
En multipliant la même équation par/»x'dar, et prenant ensuite l’intégrale de choque terme, il viendra
pa{nx + p)
n-e — -er
nn-f- 6 -H ra
a+ b + ra
le facteur du numérateur disparaîtra si l’on fait , npna=na, ppa = b-t-ra,
d’où il suit
et par conséquent
On tire de là
' ax
424. Dans la série que j’ai considérée ci-dessus, le nombre des facteurs, soit du numérateur, soit du dénominateur, était le môme pour chaque terme t mais il est une classe de séries qu’Euler désigne sous le nom A’hypergéométriques, dans laquelle ce nombre augmente d’un terme à l’autre : la série
a + b (a4-ù)(2a-i-ù) [a-\- b) .. .(ua-yb)
est de celle classe. On va voir que leur sommation se ramène à l’intégration d’une équation différentielle.
En multipliant les deux membres de l’équation ci-dessus
par px', ei prenant leurs différentielles, on obtiendra ^
Ax [a + b]
(a-h b),. . [na + b)
On fera disparaître le facteur na + du dénominateur, en posant ’
' , ' . np + rp = na + b,
d’où ' ‘ /
np = na, rp = b, b.
nd\sx‘’ J
dar
^(a + pjo;'’
(a 4- P). . • (na + P)
En multipliant ce résultat par /jo:'’, et prenant l’intégrale de chacun des membres, on trouvera l’équation
paf.
ic'’d(«a:“) =
a4-64-ra
pg(«4- P). • P) "■
( nrt 4- 6 -f- ra) (a 4- 6) . . . [ ( n — I )a 4- 6 ] ^
et le facteur na 4- p disparaîtra du numérateur, si npa a -f- P = na 4- 6 4- ra.
ou SI
pz=-, r— !-
Mettant ensuite à part, dans le second membre, le facteur commun x°‘ , , il viendra
(g-f-p).:.[(n-i)«4-p]x«- I • • . ' . -^(rt + 6). + j”
DES DIPPéBENCES
La série comprise entre les accolades du second membre de ce résultat n’est autre chose que la proposée dont on a ôté le dernier terme, et à laquelle on a ajouté l’unité : on conclura donc de ce qui. précède,
[a+P)...(na4-P) I [a-i- b). . .{na~\~ b] <) -
En différentiant cette équation, on la délivrera de l’intégration indiquée dans le premier membre, et l’on obtiendra l’équation d’où dépend la somme cherchée.
Cet exemple montre comment on opérerait sur d’autres cas plus compliqués de la classe des séries dont il fait partie, en observant que chaque différentiation offre le moyen de faire disparaître un facteur du dénominateur, et chaque intégration un facteur du numérateur.
425. Si l’on faisait abstraction du dernier terme, on aurait, au lieu de la somme particulière , la limite de la série considérée à l’inflni, ou la fonction génératrice de cette série ; car il est visible que les procédés ci-dessus sont inverses de ceux par lesquels on détermine les séries qui satisfont à des équations différentielles données.
S’il s’agissait, par exemple, de trouver la limite de la série
4 = I X — 1 -f- 1 . 2.3.r' — etc.,
on pourrait appliquer à cette détermination la première transformation du numéro précédent, en faisant
a = I , O, . rt = ü, è = I ;
mais on y parviendra immédiatement en multipliant par x les deux membres de l’équation posée plus haut, et en les différentiant ensuite. On obtiendra de cette manière
SX = ix' — 1 .20^’ I ,2.3x* — etc., d(4x) - „ ,
— i i = 1 .2ar—i ,2.3a:’ -f- 1 .2.3. — etc. ;
il 'T' * ’
fcT DES SERIES.
et multipliant la dernière équation par x, elle deviendra
X 1.2a:’ — 1.2.3a:’ + 1.2.3.4a:* — etc. :
da: ^ ’ .
dont le second membre est évidemment égal à x — * ; ainsi
l’on aura
da:
ou
. i(a:4-i) , da:
L’intégrale de cette dernière est
i = ^ J' e *da:
Pour que l’expression ci-dessus réponde à la série proposée, il faut que l’intégrale s’évanouisse lorsque a: = o ; et si on la prend jusqu’à a:=i, on aura la quantité correspondante à la série divergente
I — 1.2-1- 1.2.3 — 1.2.3.4-h etc.
426. Les intégrales définies fournissent aussi le moyen de représenter des portions de la, série
etc.,
en partant d’un terme quelconque. Voici comment d’Alembcrt y parvient, et démontre en même temps le théorème de Taylor (Recherches sur différents points importants du système du monde, tome 1, page 5o ) ;
Soit u' ce que devient la fonction u, lorsqu’on y change x en a:-i-A; en posant
tt' = M P,
et différentiant par rapport à A, qui n’entre pas dans «, il vient
d«' dP .
d = d’
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74 DEii DIFFÉBKNCES
Ensuite comme -jp = (89) , cl que = ^ + V,
V désignant une quantité qui s’évanouit avec h, on peut faire
du' d M ^
en différentiant de nouveau par rapport à A, on a d'u' dQ ^ JA
dA^ = dl’ ^-JdF'**’
d«' du /"d’u' J , rdw'j. du A r Td’u , ,
