d^+j-dÂ*'*'^’ Jd‘*^=d^T+jj dF'^'*’' , du A rr^’M'jA

“=“-^d^T+jjTF‘*'^'

Posant encore

dA’

dx’

on trouve

d’u' dR ... O

d’u' d’ U rd>u' . .

. dA’~dx’’^J dA* *’

, du A d’u A’ rrrd’“'jA, dx I dx’ 1.2 J J J

En continuant ainsi, on arriverait à ' '

dx I dx’ 1.2

X*-' i.2...(n — ') dA* *’

les intégrales étant prises de manière à s’évanouir lorsque A =: O, parce que u' redevient u. ■'

Digilized byt Çoogle

. 427. Soit, pour abréger, = H; on aura (242)

® = ~'.U-0 1 * - (n-t)A’-^ /H Ad A

(n—t) In — 2) A"-'

- /II A’ d A — etc. ;

et il est facile de voir qu’on peut substituer à la série ci-dessus l’expression

/H(t — A)"-'dA,

prise depuis A = o, pourvu qu’on change après l’intcgration j en A ; car si l’on développe cette expression, qu’on passe hors du signe / les puissances de t qui multiplient les différents lerrnes, et qu’on fasse ensuite / = A, on retombera sur la série proposée.

. 11 suit de là que

du A 6x I

dx' 1 .2 ‘ da:*“‘ 1.2. . (n — 1)

pourvu qu'on prenne l’intégrale de manière qu’elle s’évanouisse lorsque A = o, et qu’on change ensuite t en A.

On peut dans cette formule remplacer par

dj:* ’

et si

l’on fait, sous le signe intégral, t — A = zt, ou A = t(i — z), on aura ‘

A)"~'dA =

Les limites de l’intégrale seront alors a = i , 2 = o ; on la rendra positive, en renversant l’ordre de ces limites, c’est-à-dire en la prenant depuis a = o jusqu’à 2 = 1: enfin, sortant <• du signe /, et écrivant A au lieu de t, le dernier terme de lai

76 DES DIFFÉBENCES

formule ci-dessus deviendra

^ 1.2 — (n — ijjdx"

C*est Lagrange qui a donné ce dernier théorème, mais d’une autre manière, dans la Théorie des fonctions analytiques, 2* édit., n“ 35 et suivants.

Il s’en sert pour prouver qu’on peut toujours rendre la somme de tous les termes de la série de Taylor, à partir d’un terme donné, plus petite que le précédent. Soient M et m la

plus grande et la plus petite des valeurs que prend > dans l’intervalle de x à x -h A ; on aura

dx"

Z"-' d 2 <[ M f 2"~' dz et

>mfz"-^ûz.

si le coefficient différentiel ne change point de signe ou

ne devient point infini dans cet intervalle (234). Entre les

limites données, les deux dernières intégrales sont — et— :

et en prenant A d’une petitesse convenable, on rendra la A*

quantité ^ ^ M aussi petite qu’on voudra, vis-à-vis de