Une transformation de l’équation
/ r ar^da; N / Ca:’'^'da;\ i ir ,
conduit à la valeur de l’intégrale prise entre les li-
mites t = o, t = infini, qui se présente dans plusieurs recherches très-eurieuses.
Si l’on fait x = e
l’équation précédente se change en
ET UES SERIIS> , 79
posant énsuite q{2r+i) = t, et mettant dans le second membre la valeur de ar + i, tous les deux deviennent divisibles par g ; puis divisant sous les radicaux par zg, on obtient
et comme la limite de — » lorsqu’on y fait g =o, est
l’équation précédente se réduit alors à
2 j /e~'’d / d’ou /e~‘’d/ = ±i v^-
Mais f est infini quand x=so, et nul quand x=i: les limites de cette dernière intégrale sont donc l’infini et o ; et comme la fonction e~‘‘ est toujours positive, il s’ensuit que le signe supérieur répond aux limites o et l’infini positif, et que l’intégrale se double quand on la prend depuis / = — infini jusqu’à / = -1- infini : sa valeur est donc alors v^.
i30. Laplace, considérant encore l’expression fe~^ /"d la
met sous la forme ft”~" <**d /, pour l’intégrer par parties,
ce qui donne
je ‘ t — («— m)/e ' t d/j.
Tant que l’exposant « — m est positif, la partie délivrée du signe J s’évanouit entre les limites / = o et ^ = infini (99), et il reste
/*d/= fe^ t di,
la seconde intégrale étant prise entre les mêmes limites que la première. ' , - .
Si l’on fait m == i, on aura * ^ . ■<
fe~‘ fdt.
8<> DES DIFFÉBENCES
et en répétant cette réduction, on obtiendra
fe ‘ fdt =-i ^ /e /— "d r,
résultat qui s’évanouit par son coefficient quand « = 2 r — i ( * ) , et qui, lorsque n = ar, donne
fe-‘ — ^ i-i i \fn.
11 est d’ailleurs à propos d’observer aussi qu’en posant = JT, on a
Je-
/MH-
les limites de x sont alors i et o, et si l’on en change l’ordre, il faudra supprimer le signe — . ...
En posant m = I , n = O, on aura
431. Je vais encor» rapporter l’évaluation de quelques autres intégrales qui présentent des conséquences curieuses ; je commencerai parcelle de dx cosrx, entre les limites a; =0
et a: = infini, due à Laplace et remarquable parle procédé employé pour l’obtenir.
En posant
d X cos rx= y,
et différentiant par rapport à r (281), on en tire
xdxsinrx;
(•) L’inlégralo prise entre les limites < = o, «=oo ne peut évidein>
ment jamais être nulle, puisque tous ses élémeots sent positifs: Dans le cas de le facteur numérique de l'expression obtenue par Lacroix se réduit bien à zéro, mais l'autre facteur, savoir 1"*^" di , devient infini.
Digilizeetby GooglJ
ET DES SÉBIES. 8l
puis en intégrant par parties , relativement . au facteur e~*'-'’ard j:, on trouve
~ sin rx ^ dx cos rx,
dr 2 a* 't
2 fl’
ce qui revient à
î!Z= -Lr
dr
JL
lorsqu’on suppose x infini dans la partie délivrée du signe f.
L’équation ci-dessus, entre les variables j et r, a pour intégrale ■
j = Cr '**’.(285),
C étant une constante arbitraire qu’on détermine par la valeur que prend y lorsque r= o, savoir :
' Par ce moyen, on trouve • • ' .
r — e ^ yÇ ' '
•' ia'^,
Ici se montre un nouvel artifice d’analyse, qui consiste à former, entre les intégrales et quelques-unes des constantes qu’elles contiennent, des équations différentielles que l’on puisse intégrer. Ce procédé, et des transformations très-variées et très-ingénieuses, ont considérablement multiplié, dans les recherches de MM. Laplace, Legendre, Poisson, Georges Bi- ' done et Cauchy, les déterminations des intégrales définies, dont Euler avait déjà montré de beaux et nombreux exemples; mais il reste encore à désirer une méthode uniforme qui réu- ' nisse en un seul corps toutes ces recherches, au progrès desquelles paraît attaché maintenant celui de plusieurs branches importantes de la Physique mathématique.
