G' «I. II

8a ^ DES DIFFÉRENCES - "

' valeur, en observant que .

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et que la limite de e^“*2a (99) est alors l’infini, ôn obtient Jàx cosrx = o,

entre les limites ar = o et a: = infini, résultat qu’il aurait été difficile de prévoir. En effet, on a, en général ,

f dar cos rx = ^ sin ix -i- consl. (217) ;

à la première limite, où ;r=:o; la fonction sinrar=^o; mais que devient-elle lorsqu’on suppose l’arc x infini, doit-on alors le regarder comme exactement égal à un nombre entier de circonférences? C’est ce qu’on ne voit pas. Tout ce qu’il est permis d’affirmer, c’est qu’aucun arc assignable, quelque grand qu’il soit, ne peut tenir la place de x : sin rx est donc, dans ce cas, une quantité indéterminée. 11 n’en est pas de même de la valeur de fe~“^Axcosrx, à cause du facteur é7“'^ , qui diminue toujours à mesure que x augmente; et puisque cette intégrale, en vertu de la loi de continuité, a pour limite /dxcosra:, la valeur de celle-ci sera la limite de celle de la première.

On connaît encore d’autres moyens de confirmer ce résultat , auquel Euler est parvenu en considérant l’intégrale f é~'‘^Ax cos rx, k désignant une constante quelconque. Si l’on intègre par parties, en commençant par le facteur da; cos r.r, on aura

cos ro: = **sin rr'-h - re~^^ Axsvcv rx,

puis, en opérant sur Ax sin rx,

fe~'^Axs\nrx = — ^e~*'cosrr — ~ Je~*‘*Axcosrx,

ce qai donne

Kt DES SÉRIES.

/ ff'\ r — *r J > ■ tf —kr

(i-*-— Ije " dj?cosrx=-e *^sin rr — — e cosrx, et par conséquent '

( r sin rr — cos rx)

fe dx cosrx —

r’+ Ar’

Entre les limites x = o ei x = infini, l’expression qu’on vient

d’obtenir se réduit à ^ quantité qui devient nulle lorsque If s’évanouissant, l’intégrale proposée se change en J'dx cos rx.

En reprenant l’équation

/’«—** da: sin rx — — ~ e~*^ cosrx — ^ Je~'^dx cos rx,

et mettant pour l’intégrale du second membre sa valeur déjà trouvée, on arrive à

( r cos (tr -f- A' sin rx)

Je **da:sinrx = —

r»4-Ar»

valeur qui se réduit à - — r- ? quand on la prend entre les li-

mites a: = O et a: = infini.

La supposition de A" = o donne . „

yd X sip ra: =

autre résultat remarquable, qui ne parait pas suivre immédiatement dp l’expression

fdx sin rx= — - cos rx +

const.

433. La transformation des quantités réelles en imaginaires est un artifice d’analyse qui a fait découvrir plusieurs inté-

fi.

grales définies remarquables. Nous emprunterons ici un exemple à Fourier (*).

Lorsque dans l’inlégrale /e~‘'d/= (429), on fait

on en lire