I -t- \j~\ ^.ucr; pi

-r-7= Je •dÆ-=V’r;

et comme

cos(2T>) — v^— I sin(x’) (187),

on obtient ensuite

' ' , ^ ^ j/da; cos (ir’) — I /da: sin (jr’)| = \/jr. ’

En séparant les parties réelles et les parties imaginaires de cette équation, on en déduit deux autres, savoir : ,

. ^ {/da: cos(jr’) -t- fdx sin{x^)\= \/it , \

/da?ros(it’) — /dxsin(a:’) = o,

fdxcos(x’) = /dx sin (x’) = ^

les limites de x étant — l’infini et -4- l’infini comme celles de, t.

Il faut observer que cet artifice a été employé surtout comme moyen de recherche, et qu'on s’est attaché à en vérifier les résultats : ceux que je viens de rapporter sont connus d’ailleurs. , ’

434. La continuité qui existe entre les diverses valeurs que prend une intégrale, en raison de celles qu’on assigne aux quantités dont elle dépend, a donné lieu d-’appliquer les intégrales définies à l’interpolation des suites (388).

( ■ ) Théorie de la €haleury,p, 53’3.'

•Oigiîizeci-by’Gt)»

Lorsqu’on fait m = O, dans le développement de J’Æ^dx(lj:)" (208), et qu’on prend cette intégrale entre les limites = o et j; = i, pour lesquelles la partie délivrée du signe f, composée de termes de la forme a; (la;)'’, s’anéantit, parce que r est positif comme n (99), il ne reste que le dernier terme, et l’on a •

ydx(la:)" = ±i..2.3. . .w,

-f- quand'» est pair et — dans le cas contraire. On évite cette distinction en donnant le signe — à la:, ce qui change l’équation ci-dessus en

< y do?( — \xY= y do: = 1 .2.3. .

résultat qui s’obtient tout de suite, en observant que

et qu’entre les limites a: = o, a: = i , on a seulement

yd.r(|i)’'=nydo:(l^)".

On pourra donc regarder l’intégrale fdx ^1 comme exprimant le terme général de la série des produits

I, I, 1.2, 1.2.3,..., 1.2.3,..., rt, etc.,

correspondant aux indices '

, «, etc.;

et en effet elle en a toutes les propriétés connues pour les valeurs entières de n (*). En donnant donc à cet exposant des valeurs fractionnaires ou même irrationnelles, on introduirait dans la série, des termes intermédiaires assujettis à la même loi que les autres.

) Pour voir comment le premier terme de la suite supérieure correspond à zéro dons la suite inférieure, il faut faire n = o dans/d x .qui devient

alors /d X = X =3 I , dans les limites prescrites. '

Le cas où n = - est des plus remarquables ; car

Vandermonde et Kramp avaient proposé, il y a longtemps, d’introduire dans l’analyse la fonction qui représente le terme général de la série ci-dessus, comme exprimant un nouveau genre de quantités transcendantes, douées de propriétés remarquables par leur analogie avec celles des puissances^ et depuis, Legendre, s’attachant à leur expression en intégrales définies, en a déduit beaucoüp de relations très-utiles, en a, calculé des tables numériques fort étendues, et les a désignées par la caractéristique r, en posant pour définition

en sorte que

r (« H- i) = ht (n),