Xl2 — X
Retranchant la troisième série de la seconde, il vient Il 4-134-154-l7...4-l(2X— i) = xlx 4- ^x 4- I2 — x, d’où l’on conclut , ’
— all 2I3 2I5.. . 2I (2X — 3) — 2l(2X — 1)
= 2 const. +2 ^X4- 1x4- 2xl2— 2X-^l2X
cl comme le premier membre de celle équation est égal a Ijt — I2, on obtient, après la réduction du second.
d’où
1 TT — 1 2 = 2 const. — 2 1 2,
const. = - ( lir + 1 2) = - 1 2t: = 1 \J}.v ,
83 DES DIFFÉRES'CES
résultat bien remarquable, et d’après lequel on a
Slar = -l2»r-t-arlx — a:-|--lÆ:H ^ — -
2 2 - I2X 3oox’
■etc.,
On rendra cette équation propre à un système quelconque de logarithmes, en multipliant par le module les termes dans lesquels il n’entre point de logarithmes (*).
Pour en donner une application, je rapporterai le calcul qu’Euler a fait de la somme des logarithmes des looo premiers nombres des tables, c’est-à-dire de la valeur de
Il -f I2 4- 13. . . .-4- 1 1000.
La caractéristique 1 désignant des logarithmes ordinaires, le module sera, pour abréger, représenté par M ; et si l’on fait j: = looo, on trouvera ’
xlx == 3ooo,ooooooooooooo 1 ,5oooooooooooo
Mx =
=■ — O , oooooqooooo 1 2
résultat 2.567,6046442221328
(*} Lorsqu’on passe des logarithmes aux nombres» cette équation donne
-'.es . ■ * .
jf-f--
en repFéeeotani» pour abréger» par i ta série
et comme
— i-+-etc.;
I2X 3(>OJC
t*î=H h -ri — (27),
mais, suivant la notation du n® 414, .
Il + 12 + 13. . .^liooo = Il .2,3. . . 1000 = l[iooo]'*”; on aura donc
On apprend par là que le nombre [looo]'»”, dont le calcul est presque impraticable, doit avoir 2568 chiffres, et que les sept premiers chiffres sur la gauche sont 4023872, en sorte qu’il est compris entre les nombres qui résultent de 4028872 et de 4023853, suivis chacun de 256i zéros. Cette connaissance suffît dans beaucoup de recherches où l’on ne demande que les rapports des produits de grands nombres ; et dans ce cas, la ‘ valeur approchée de ces rapports devient précieuse par l’impossibilité où l’on est d’effectuer les calculs nécessaires pour ' arriver à la valeur exacte. La longueur de ces calculs présente alors un obstacle aussi insurmontable que la diflîculté d’exprimer rigoureusement une fonction transcendante. Laplace a beaucoup étendu cette recherche, dont les applications sont très-fréquentes dans le Calcul des probabilités.
436. Les intégrales définies, donnant, comme on vient de le voir, des sommes de séries, ont été employées avec succès par MM. Laplace, Parceval, Fourier, Poisson et Cauchy, pour exprimer les intégrales des équations différentielles partielles, telles que celle du n° 352, qui ne peut pas s’intégrer en termes finis.
Laplace a reconnu que la série
« = ?(^) "l- î"(^) 7 W + etc.,.
81 Ton développe les puissanees de t suivant celles de x, on trouvera
, , • iix 5i8/|Ox* *
résultat qui s'accorde avec la formule de la page 13g de la Theorie analfti^ue des probabilités^ par I.nplace. '
go des différences
obtenue dans le n° 353, n’était que le développement de l’intégrale • - -
prise par rapport à t, entre les limites'i = — infini et / =-|-in-' fini, la fonction f étant arbitraire. C’est ce dont il est facile de s’assurer comme il suit.
En développant <f{x par le théorème de Taylor,
on a premièrement
— if[x)Je~'‘'dt-h^^ f' (x]fe ‘".2/df
H 7 ÿ"(^) à i6 -i- etc., '
Secondement, les intégrales qui reslonl dans le développement, s’évanouissent pour tous les exposants impairs, et dans ■ le cas contraire, sont égales à ‘
à cause qu’elles sont prises entre les limites — infini et -t- infini. En substituant ces valeurs, et renfermant dans la fonction arbitraire y (or) le facteur constant v'ïr, on trouve précisément la série proposée : l’équation
d’3 âz
- Ax'~ Ay^ . .. ' ’
a donc pour intégrale - - '■
Z ~ fe~‘' Alif{x -yît^y).
■ Cette intégrale se vérifie aisément. On obtient par la différentiation sous le signe (281),
Az
dj
-^/e ‘’td/f'(j:-i-2fv(r)
