VT

en Intégrant par parties, relativement au facteur d / ; et si l’on suppose la fonction ■2.t\Jÿ) telle que son produit

par e“‘’ demeure nul lorsque t = infini, ^ prendra la même

valeur que

437., Lorsqu’on a intégré l’équation différentielle partielle d’un problème, il reste encore à déterminer les fonctions arbitraires introduites par cette opération, ce qui présente souvent de grandes difficultés. Fourier les a d’abord évitées, dans ses recherches sur la chaleur, en employant, au lieu des intégrales avec des fonctions arbitraires , des développements comme ceux que j’ai indiqués dans le n“ 352, qui sont formés d’un nombre indéfini de termes contenant des coefficients et des exposants arbitraires {*). La détermination de ces quantités, d’après des conditions données, l’a conduit à des transformations qui paraissent acquérir beaucoup d’importance pour la solution des questions physico-mathématiques, et dont, par cette raison, je vais donner une idée.

(*) L*cquation dont Fourier s'occupe on premier lieu, revient à d* c d* s

'ÏÏ7- + ,Ï7’ = '’’

et par le n» SitI > on trouve pour son iiité^le complète

, r = P (r — ij-t-itir-t-xl/— i). {Thcoiicde la Chaleur^ p. iGi et ao^.)

g% DBS DIFFÉBEIKCES

Je prendrai pour exemple l’équation

dar’ d/

déjà traitée (352 et 436). En posant z = Xe””' sin nx, on la réduit aisément à — n^ = m, ce qui donne l’expression indéfinie

Z = sin nx -f- Aie~"‘^sin n,x etc. (*).

Cela posé, si la valeur de z devait en outre, lorsque y = o, se réduire à une fonction donnée f(Æ’), cette condition exigerait une détermination des coefficients n et A, telle que

f(x) = A sin nx -(- A, sin n,a:-|- A, sin n,x + etc.,

ce qui revient à transformer la fonction f(x) dans une série * ordonnée suivant les sinus des multiples de l'arc x.

On trouvera sans peine que l’équation différentielle proposée ' admet encore le développement indéfini

z = A cos /w: -t- A, cos /iiX -t- etç.

et la condition à remplir serait, dans ce cas,

f(j-) =r A cos n.r -H Al cos «I .r -H A,cos -r etc.',

c’est-à-dire la transformation de f(:r) en série ordonnée sui- vant les cosinus des multiples de l’arc x.

(*) Ce déTeloppcment est implicitement compris dans eelni que j’ai donné 11° 5i>8. Pour l'on Taire sortir, il sufSt de changer h l’endroit cité n en — n’, ou

^ en ±n^— i , puis A en ± — ^ , ce qui donne pour; les deux expressions

— «‘/-Knxv/— I — — «jV— I

<ioiik la somme ' - '

Il en est de même pour tous les autrc> termes.

sirtnr (IftT).

ET DES SJÉRIES.

On connaissait déjà plusieurs développements de cette espèce : Euler avait remarqué que

a: = sina: sin 2X -i- ^ sin 3a: — etc. (*)

(IVovi Comment. Jcad. Petrop., t. V, p. 2o4), formule qui résout le problème, lorsque f(a:) =x, puisqu’on en déduit

a:=asina: sin ax -h ■= sin 3a: — etc.

= Asin nx -H AiSin n,a:-t- A, sin n,x -f- etc. ^

(*) Cettè série est rapportée dons ie Traité in-4°, t. I®'', p. g'j ; et Yoiei lo moyen employé pour y parvenir. La formule

ma . H tt* «• U* . ,

1(1-+-“)= 7 — - -t- 3 - -t-otc. (20). - ,

lorsqu’on y change» en donne et par la soustraction, on en déduit

i(n-«)-i i + ii-') = i r; = '“