M — U * II* — II* — U
'6tC.
Faisant alors « = e* , d’où il soit lu = x>J — 1 ,
a’" - U-” = c“ - c-"“ = a /rr sin mx,
on aura, par la substitution de ces valeurs.
sin 1 JT sin 3ar
. * . . /sin A’ $
et par conséquent
-jf=:sini sin 3x -(--sin 3x — etc.
De plus, comme x’=a /xdx, x* = 3 / x’dx, etc., on remonterait sans 'peine aux puissancca supérieures de x, ainsi que Daniel Bernoulli l’a fait, mais pour un but différent, dans les Novi Commrnt. Acad. Petropolitana, ann. page 9. < '
. DES DIFFÉRENCES Je prendrai pour exemple l’équation
da:’ d/’
déjà traitée (352 et 436). En posant z = A.e"”' sin nx, on la réduit aisément à — n‘ = m, ce qui donne l’expression indéfinie
Z = Ae~"’-’'sin 7ir-f- Aie~"‘-’'sin n,ar -t- etc. (*).
Cela posé, si la valeur de z devait en outre, lorsque y=^o, se réduire à une fonction donnée f(a;), cette condition exigerait une détermination des coefficients n et A, telle que
f(x) = A sin/M;-l- A, sin n,a:-i- A,sin n,x + etc.,
ce qui revient à transformer la fonction f(a:) dans une série . . ordonnée suivant les sinus des multiples de l’arc x.
On trouvera sans peine que l’équation différentielle proposée admet encore le développement indéfini
z = A*~"’-^ cosna: Are”"'-’’ cos «la; H- etç. et la condition à remplir serait, dans ce cas,
f(a-) A cos na- + Al cos «1 a: + k,cosniX -r etc.’,
c’est-à-dire la transformation de f (a:) en série ordonnée sui- - , vant les cosinus des multiples de l’arc x.
(*) Ce déTeloppcment est iroplicUement compris dans celai que j'ai donné II® 5i>2. Pour l’en faire sortir, il sutlU de changer à Pcndroit cité n en ~ n', ou
yfn en ±n\^— i , puis A en ± t ce qui donne pour 5 les deuJt expressions
— Il*/ -4- nxyj— 1 — «*/ — 1
dont la somme
-'■vie ’ e ^ ) —n'r
^s=Ae sirinr (187).
av'-»
Il en est de même pour tous les autre' termes.
Digilizcc by*C
ET DES SJÉRIES. 93
On connaissait déjà plusieurs développements de cette espèce : Euler avait remarqué que
-a:=sina: — - sin ajc -h 4 sin 3 a? — etc. (*)
{Novi Comment. Acad. Petrop., t. V, p.ao4), formule qui résout le problème, lorsque t{x)=x, puisqu’on en déduit
a:=2sinx — - sin aar + | sin 3a: — etc.
= A sin na: -(- At sin n, a: -h A, sin n, a: -t- etc. ,
( * ) C«ttè série est rapportée dans le Traite in-4®> t. p. gj ; et voici le pioyen employé pour y parvenir* La formule
lC, + o)=2-^’-l-|-^‘ + e.c. (20). - ,<
lorsqu'on y change u en u donne
l(., + u-') = — - — + -J ^-Ketc.;
et par la soustraction, on en déduit
l(H-u)-l(n-ii“‘) =1
. ■ ^ etc. ^
Faisant alors « = c* j d’où il suit 1 u =■ x )/ — i y
ü” — u“”= = a Biu OTX,
on aura, par la substitution de ces valeurs.
(sin X sinax sin
ins3x \ ,
^etc.j,
et par conséquent
ix = sin X — -sin ar -+--îsin 3x — etc.
De plus, comme x* = a /"xdx. x*=3 J" x*dx, etc., on remonterait sans 'peine aux puissances supérieures de x, ainsi que Daniel Bernoulli l’a fait, mais 'pour un but différent, dans les Novi Commrnt. Acad. Pelropolilana, ann. 177a, page 9. ^ ‘ • --
DKS DIFFÉKEXCES
d’où il jésuite;
fi ™— I* fit fl-l 3, 0tC*| •
A=-<-» A,=— Aî = -5» etc.,
s = 2 ^c”^’sinar— i e~^’sin 2a: + i e~9’^’ sinSa: — etc.^
438. Nous ne nous arrêterons pas aux autres cas particuliers; nous passerons au problème plus général: exprimer une fonction quelconque, par une série formée de sinus ou de cosinus des multiples d'un arc. Les recherches sur le système du monde avaient conduit Euler, dès 1748, à s’occuper de ce problème; puis Clairaut l’énonça d’une manière fort étendue [Mém. de V Acad, des Sciences, année 1784, p. 545), et en donna une solution très-ingénieuse {*)- Fourier y fut conduit aussi dans sa Théorie de la Chaleur; mais le procédé qu’il emploie pour opérer ces développements, et que nous allons, suivre, se trouvait déjà à la p. 1 15, 'du t. XI, des Nova acta . Acad. Petrop. (imprimé en 1798), comme l’a remarqué M. Jacobi. Euler n’applique ce procédé que sous la condition qu’on ' s’est assuré a priori que la fonction est développable dans la, forme assignée, et nous ferons la même hypothèse.
Soit premièrement ; . --
f (x) = a, sinx-f- fl, sin ax-f-Oj sin 3a: -1- etc., ,
où les multiplicateurs de l’arc x sont la suite des nombres naturels.
En changeant X en t dans cette équation, multipliant ensuite les deux membres pard/sin nt, et prenant les intégrales depuis / = O jusqu’à désignant la demi-circonférence, on aura
/f(<)d<sin nf = a,/df sin nt sinn/-)-rt,/d/ sin 2f sin nt. . .. X \ -i- ««/dt sin /nt sin nt etc. - , ‘
(*) Voy. aus»i le Traite t. H, p. i3i.
Digilizedby-Goc^lc
Or
/dtsinmi sin ni = ^/d t cos (m — n)t — ^ /dt cos (m + n]t-
sin {m — n)t sin {m -h n)t 2(/n — n) 2(»i + /i) '
expression que les limites o et w rendent nulle, tant que n, supposé toujours un nombre entier, diffère de m. Ainsi, pour chaque valeur assignée à n, tous les termes de la série précédente disparaîtront, excepté celui dont l’indice est égal à cette valeur. Sa seconde partie disparaît encore, mais la première,
qui se présente, alors sous la forme a pour vraie valeur'^ et devient -> entre les limites de l’intégration ; on aura donc
f(<) d< sin ml = o™ -»
et par conséquent
a„ = ^ I f(t)dtsm m/.
De cette manière, chacun des coefficients a,, etc., est exprimé par une intégrale définie prise entre les limites o et w, et rôn a, pour le développement cherché, .
f (x) = - j sin ar/f { < ) d t sin /,-t- sin 2 x/f (f ) d t sln 2 1 . . .
TT *
-t-sin mx /f(t)dtsin ml -H etc.
Quand f{x)=x, il vient
/f{/)dtsin mi = //d/sin ml : t cos mt .
m ' ni t cos mt - ■ sin mt
fdl cos mt ,
nv
et entre les limites o et w, cela se réduit à
cos mv
Donnant ensuite à m les valeurs i, 2, 3, etc., et supprimant n, qui est facteur commun des deux membres, on trouve le développement particulier
X = 2 { sin X — - si \ 2
sin 2x -i- - sin 3x
— etc.
rapporté dans le numéro précédent.
