Soit encore

f (jr) = «, cos ox 4- a, cosx 4-«i COS 2x H- etc.;

remplaçons X par t; multiplions par d/ cos nt, et prenons les intégrales, depuis I = o jusqu’à / = jr; nous aurons

/f (<)d/cos ni=a, fdtcosot cosnt +a, /d/ cos t cos ni... 4-a«/d < cos /n< cos -t- etc.,

puis

fàt cos ml cos ni = - /d< cos(m — n) r -t- - /df cos (»n4-n)< 2 2. ^

sin (m — n)t sin(m-l-«)/

2(ui 4-«)

expression que les limites o et ir font évanouir, à moins que n = m. Pour ‘ce cas, la vraie valeur de son premier terme

étant -TT, il s’ensuit

d I cos ml.

11 faut cependant excepter de ce résultat le premier terme de la série ci-dessus, pour lequel « = o donne seulement

Ç f{l)dl=a, f d<=fl,îr,’

•'o Jo ' < ,

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d’où

ETT DES SÉRIES.

^ Jo

Il résulte de là que

2 rcos.r/f(<)d<cos/ + cos2a;/f(t)d/cos2/. . ."l L , -»-cosm:p/f(t)d<cosmf+ etc.J ’

les intégrations étant effectuées entre les limites o et n.

440. Ces expressions sont susceptibles de discussions trèsdélicates, relativement à leur étendue. Ce n’est pas ici le lieu de s'arrêter sur ces détails, mais je les ferai au moins pressentir, en indiquant la marche des valeurs des deux membres de l’équation

- 2T = sin a? sin 2 a: -i- ^ sin 3 JC — etc.

Ils s’anéantissent quand ar = o ; et si l’on fait x = - on en

tire