I III

,■ , , 7 n — I — K h etc.,

valeur bien connue (38). Mais lorsqu’on suppose jr = ir, ce qui

donne pour le premier membre, le second s’évanouit: il

en est de même pour la valeur a? = — w, en sorte que le développement n’est exact qu’entre les limites x exclusive-

ment, c’est-à-dire que les valeurs de ^ et de — ^ n’y sont pas comprises.

Si l’on fait ensuite '

a: = jr -t-,r,

le développement, devenant

— siny — - sin 27 — ^ sm 37- — etc., 6«oü. H.

DI S DIFFÉRF.NCKS

ne rt'pond plus au premier membre, qui est ^ +^')» mais

si l’on cliange x en w — y, il viendra

- (r — >■)= sin 7--h -sin ar+ ^ 3/-1- etc.,

ce qui montre que le premier développement en y donne la valeur de l’arc négatif (^’ — c), en exceptant toutefois le cas oùj=o.

11 faut encore observer que le développement de ^ a: donne

immédiatement celui de la fonction ax + h, qui exprime l’ordonnée d’une droite quelconque; mais tandis que la fonction représente la droite dans toute son étendue, le développement en sinus ne répond qu’à la portion comprise entre les abscisses -+- et — ir, exclusivement. On peut, en changeant de variable, comme on le verra plus loin (442), passer à d’autres limites, mais on iVobliendra jamais qu’une portion de ligne droite.

441. Les développements (A) et (B) paraissent devoir représenter respectivement deux espèces de fonctions. Le premier, dont tous les termes changent de signe avec l’arc x , répond aux cas dans lesquels f(:c)est une fonction qui jouit de lamême propriété, et que l’on nomma Jonclion impaire, à cause que si elle était développée suivant les puissances de x, elle n’en contiendrait que d’impaires.

Le second développement, ayant la propriété contraire, celle ' de conserverie même signe, quoique celui de x change, serait particulièrement applicable aux fondions paires ;-mais l’un et l’autre ne sont encore que des séries qu’on peut remplacer, . comme on va le voir, par une nouvelle intégration définie.

Pour cela, commençons par les réunir, en observant qu’une fonction quelconque F [x) peut être décomposée en deux parties, l’une paire, c’est-à-dire telle, que si on la représente par JP {x), on ait f{x)=:if (— x), l’autre impaire, ou telle, qu’en la désignant par ^(x), il vienne '|< [x] = — ^i]({ — x). En cxpri-7

• Digitizefl by Cooglq

ET DES SÉRIES. . Qg

manl la première par la série (B), la seconde par la série (A), et prenant leur somme, on aura

^ 2 r cosÆr/î(<)d/cosi-i-cos2a: /<y(/)d/C0S2/-f-etc.1 n L-t-sin:r/^(/)d<sin t 4- sin nx /^Ht) d< sin 2< + etc. J ’

les limites de ces intégrales étant encore o et w.

On peut les étendre de — ir à -l-ir, pourvu que l’on double ' le premier membre, parce que la fonction ç{/) étant paire, passera de O à — jr, par les mêmes valeurs que de o à ir, ainsi que les cosinus. A la vérité, la fonction 4<(/) aura, dans ces intervalles, des signes différents; mais comme elle est toujours multipliée par un sinus qui change de signe en même temps, le produit conservera le même : le résultat total sera donc doublé ; ainsi, en prenant les intégrales de — * à -+-w, on écrira

2F(.r) = i/?(0dr

2 r cosx J'f(t)dtcosi 4- cos 2xf<f (r) d < cos al etc.'j jr l-f- sin jr /iKljdl sin t -+- sin 2j? dl sin 2I 4- etc. J’

11 faut maintenant introduire la fonction proposée F (x) à la place des fonctions <]> et r{(, ce qui se fait aisément, quand on observe que ,

i» ff rn

I \I< (l)d< cosml, j ç (I) dl sin «Ils'

sont toujours nulles, parce que la différentielle à intégrer est le produit de deux facteurs dont un seul change de signe avec I, savoir; ^|l (/) dans la première, et sin mt dans la seconde. Par là on peut, sans troubler le dernier développement, y ajouter les termes que fournissent les expressions

cos mx {t]dt cos mt, sin mx /if (l) d< sin ml :

alors, en multipliant les deux membres de l’équation par n, et

bigilized by Cooglc

I oo

DES DIFFÉIIENCES

les divisant par 2, on obtiendra ■ .

-rW = ^/[T(0 + 'H0]d< ■

-t- cos ar/[ip (r) 4- ^ll (/)]d< cos etc.

' 4- sin 2:/[f (<) +.^|- (/)]d< sin < + etc. ...

et par conséquent

.F(ar') = i/F(r)dr ' - ’

+ cos X /F(t)dr cos t + cos 2x/F(/)d/ cos it 4- etc.

-i- sin X /F(<)d/ sin t 4- sin 2jt /F(<)dt sin -it 4- etc.

Le signe f ne se rapportant qu’à ia variable t, on peut faire passer dessous les facteurs en ar ; et comme

cos X cos t + sin a: sin < = cos (a; — /),

cos 2ar cos 2t + sin 2a: sin 2< = cos 2 (a: — <) ,

etc.,

l’équation précédente peut être réduite 5

7rF(a:)=y'' F(/)d/ + COs(a:— t)-HC0S2(a:— r)4-etc.|-

On l’abrège encore en écrivant

KF(ar)= y F(/)d/ |^4-Scosm(a:-o|’

ia somme S éunt prise depuis m=i jusqu’à wi=infini, et comprenant les deux valeurs extrêmes {*).

4it2. On peut donner à l’intégrale, des limites quelconques,

•JZX* Ttt*

au lieu de w; il suffit pour cela de changer a: et / en — et — ;

faisant alors = — ir, — = + ’’’> limites de t seront n a O.

(*) C’est conformcnicnt à la distinction, établie dans le n® 400, d'après Euler ( Insl. Cale, différ.i P. 1°, cap. 11, § 5g), que je mets ici le signe S au lieu de 1 qu’on Iroiire ailleurs. •

loi

Cl -H fl, dt deviendra ; on aura a

Puis en supprimant le facteur commun ir, ainsi que l’accent affecté aux lettres x et t, qui n’est plus nécessaire, et en écrivant f (a;), f ( r), pour F » F > H viendra

fH=£^f(r)dr[^-+-sicos^îL"|^,)].

443. Dans cette dernière formule, la quantité a n’étant soumise à aucune restriction, on peut la supposer infinie, cl l’on obtient pour F (a:) une expression où la somme S est remplacée par une intégrale aux différentielles. On pose d’abord

[IH I ]n

d’où il suit

-—.àn, - = -ï,

U a TC

{{x)=J^ f(/)d/[^-4-iSA7COS//(a-— />j. :

Maintenant, plus a augmente, plus ^q diminue, plus la somme S approche d’une intégrale aux différentielles (232) ; et pour passer à cette limite, il ne faut que changer \q en dq, en observant que la variable q prendra toutes les valeurs possibles, depuis O jusqu’à l’infini ; on aura donc

t[x] f({l]dl fdq cos q(x — /), " ,

TT '

formule due à Fourier, dans laquelle l’intégration relative à q s’étend de o à l’infini, et l’intégration relative à t, de — infini à -+- infini.

Ce dernier résultat se décompose en deux autres, quand on

loa

' DES DIFFéBENCES . ...

sépare les fonctions paires des fonctions impaires. On substitue alors à cos q[x — /) sa valeur cos qx cos qt + sin qx sin qt, et changeant l’ordre des intégrations, il vient

f(a:) = cos qxf([l)âi cos qt /dçsin 9T/f(^)d/sing/;

remplaçant ensuite la fonction quelconque f(a:) par une fonction paire (a:), puis par une impaire '}- (.r), en observant que

Xa P a

<p( f)dtsin ç/ = O, I ^j<(/)d^cosç/==o,

d'après la remarque faite dans le n® kki, on obtiendra les deux expressions

<f(x] = -/dq cosqxf^(t)dt cosqt, . -

TT . . '

^(x) = -/dq sin qx/^li{t]d tsinqt,

TT

les intégrales étant prises entre les limites o et infini pour la variable q, — infini et + infini pour la variable t.

444. MM. Poisson, Cauchy et Liouville ont étendu les formules précédentes aux fonctions de plusieurs variables, et y sont parvenus par divers moyens. Je renverrai à leurs écrits le lecteur qui voudra connaître les points de vue sous lesquels ils ont envisagé cette théorie (*).

Je rapporterai seulement une des manières dont M. Poisson a vérifié a posteriori la formulé principale

f(j;) = ^J'f{t]dtfdq cosq(x — t),

Xiiif.

dçr cosç(jr — /), comme la limite vers laquelle

tend l’intégrale dq cos q{x — t), à mesure que la quan-

tité fl décroît.

{*) Voy. la Théorie de la Chaleur ^ les Erercices tPanalysc et le Journal de Mathcnialiqucs pures et appliquées.

ET DES SÉRIES. lo!)

Celte dernière formule rentre dans celle du n“ 431, où il suffira de changer r en a: — < et a; en pour obtenir

fe 1 àqcos{x-t)q= — >

et par conséquent

Cela posé, le facteur e décroît en même temps que n

et tend à devenir nul, à moins que le numérateur — <)*de son exposant ne soit d’une petitesse comparable à celle de a, ce qui aura lieu lorsque la valeur de la variable t différera peu de celle de x : c’est donc seulement dans ce cas que l’intégrale indiquée pourra prendre une valeur assignable. Pour la découvrir, il faut faire l = x + z, et supposer que la valeur de z demeure dans des limites si resserrées* que l’on puisse la regarder toujours comme infiniment petite, et qu’il soit permis, en conséquence, de réduire f (x -4- z) à f (ar) ; il vient alors

Or, puisque l’intégrale comprise dans le dernier membre s'anéantit aussitôt que z a une valeur assignable, on ne change pas celle de cette intégrale en étendant z jusqu’à l’infini même; mais entre ces limites.

ce qui fait disparaître a dans l’expression de f(.*'), cl rend identiques les deux membres de l’équation.

On ne saurait disconvenir qu’appuyé seulement sur la valeur d’une intégrale définie à laquelle on n’atlrihuc, à proprement parler, qu’un seul élément, le procédé que je viens d’exposer