DES DIFFÉRENCES ET DES SERIES

ne doive parallre au moins irès-délical ; mais ce qui le fortifie, c’est qu’en l’appliquant encore à d’autres intégrales, en particulier à l’une de celles du n“ 432, on en tire toujours le même résultat, obtenu d’ailleurs a priori par des considérations trèsdifférentes. ■

Pour se faire une idée bien nette de ce passage d’une limite, finie à une limite infinie, il n’est peut-être pas inutile d’examiner la marche des valeurs d’une intégrale analogue à la pré- cédenie. Telle est dont on trouve une table à la fin de

Y Analyse des réfractions astronomiques, par Kramp. On voit que cette intégrale, dont \Jv = 0,88622692 est la valeur entre les limites zéro et l’infini, ne diffère de cette valeur, quand/ est seulement égal à 3, que de 0,00001968. L’approximation doit être encore bien plus rapide, quand l’exposant — /’ est divisé par le carré d’un nombre très-petit, ainsi que dans la formule traitée ci-dessus; et lorsqu’on suppose infiniment petit cet exposant, c’est une limite rigoureuse que l’on cherche et que l’on obtient. .

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NOTES

NOTE A, indiquée sur les pages i et 70, (Tome I".)

I. Considéré dans les procédés qui le constituent, le Calcul différentiel est plus simple que les parties supérieures de l’Algèbre. Sa difficulté ne tient guère qu’à celle d’apercevoir d’abord quel est son but, et de concevoir le sens de quelques nouveaux termes dont il a nécessité l’introduction.

C’est un problème do Géométrie (celui de Pappus] résolu seulement dans quelques cas particuliers, par les anciens-, qui a conduit Descartes à inventer l’application de l’algèbre à l’expression des lignes courbes; c’est aussi un problème (celui des tangentes) qui a fait découvrir le Calcul différentiel.

Dès le temps d'Euclide, on a pu remarquer que les tangentes jouissaient des propriétés des sécantes, en modifiant ces propriétés comme l’exige la réunion des deux points d’intersection en un seul, qui est alors le point de contact, (fo/cz le n” 128 des Eléments de Géométrie.) C’est aussi sur ce principe que reposent, soit explicitement, soit implicitement, toutes les méthodes qu’on a fondées sur le Calcul, pour mener les tangentes aux courbes. Parmi ces méthodes, je choisis celle de Barrow, qui n’est pas encore le Calcul différentiel, mais qui s’en rapproche le plus.

Soit, par exemple, la parabole ordinaire, donnée par l’équation y* ; en prenant sur cette courbe deux points M et M' (fig. 1) pour mener une ' sécante, posant

AP = x, PP'=A, kV-x-k-h, .