I : tango) = r : AH

AH = r tango) et AB = ar tango).

Mais le côté AB est contenu autant de fois dans le contour du polygone régulier que l’arc qui mesure l’angle AOB est contenu dans la circonférence : soit donc 2 7r celle qui est décrite avec le rayon i, et à laquelle se

rapporte l’arc o>; le nombre des côtés du polygone sera — ; ainsi son contour sera

tango)

Or, plus le nombre des côtés du polygone augmentera, plus l’angle o) dimi-

nuera, et plus le rapport — approchera de l’unité qui est sa limite

(Tome I“, page 35). Si l’on passe à celte limite, le polygone se changera en cercle, et sa circonférence deviendra 2jrr, comme le donne la Géométrie élémentaire.

Rien n’est plus aisé maintenant que d’obtenir la surface du cercle. Celle du polygone ABC étant égâleàsoncontourairrî:5i^> multiplié par^OH

ou revient à rrr* et en passant à la limite on a Tir’, comme

par la Géométrie élémentaire. '

On appliquerait bien aisément ces calculs aux corps ronds; mais nous ne nous y arrêterons point : nous nous bornerons seulement à faire observer qu’ici la /imite se montre, non pas c/nnme un mode arbitraire d’exposition, mais bien comme tenant au fond des choses.

La considération des limites n’est pas non plus étrangère aux Éléments d’ Algèbre. J’en ai donné un exemple sur la fraction dont les deu}^ termes s’évanouissent quand a=b, et dont la valeur est

MOTES

alors 2rt, et j’en ai fait usage pour expliquer un cas singulier du problème * dos deux lumières. [Élém. dAlg.^ 70, 120,) •

En effet, c’est toujours à cette considération qu’il faut aroir recours pour expliquer les difficultés qui peuvent naître des indications de quantités infinies ou infiniment petites, dont les mathématiques n’ont pas besoin de supposer l'existence actuelle, et qui d’ailleurs n’offrent aucune prise à 1 esprit. Il n est donc pas étonnant que lorsqu’on analyse avec soin les diverses théories proposées pour l’établissement des principes du ' Calcul différentiel, on y retrouve toujours des idées de limites.

r\'. Quelquefois on a employé des locutions vicieuses : c’est ainsi qu’on a désigné longtemps la méthode des limites sous le nom de méthmle (les premières et dernières misons; mais ce langage n’est pas exact. Quand,

MQ

plus haut, nous avons considéré le rapport des lignes ( p. 106),

ti M Q ^

nous n avons pas dù dire que la limite — était la dernière raison de ces

lignes, car lorsque sc change en par l’anéantissement de X-,

les deux points M’ et M coïncident, les lignes M'Q et MQ n’existant plus, n ont plus de rapport. C'est donc comme existant à part, c’est comme

quantité generis, qu’il faut envisager et ce qui lie cette fraction

aux quantités h et k, ou MQ et M'Q, c’est seulement qu’on peut l’en faire dériver, comme exprimant, non pas leur rapport, mais sa limite. C’est ce que Newton lui-méme a très-bien exprimé dans ce passage de son livre des Principes :

« Les dernières raisons qu’ont entre elles les quantités qui s’éva- » nouissent ne sont pas, dans le vrai, les raisons des dernières quan- » tités, mais les limites dont les raisons des quantités qui décroissent à » l’infini approchent sans cesse, et de manière à n-’en différer qu’aussi » peu qu’on voudra ( * ). »

Si l’on supposait que le point M', d’abord réuni au point M s’en éloignât, alors les lignes MQ et M'Q naîtraient au lieu do s’évanouir, et c’est

dans ce sens qu’on nommait — leur première raison.

(*) Vliim»e rotiomrs iUœ quthuscum quanlitalcs c^anescunt, révéra non sunira* tiones quantUalum uUimnrum, srd linutes ad quos quanlitatum sine Ümile decresc^ntium rationcs semper appt opinquant ; et quas propiùs assequi passant quant pro data quavis differenlia, (Fhilosopbisc naturalls prlndpia maibcmaUca, hb, t scci. 1, lem, Xtf scliolium, )

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NOTES

V. Il me semble que pour bien \uir Ja naissance des limites, dans le passage des lignes droites aux courbes, il suffit de remarquer que la différence caractéristique entre une courbe et un polygone consiste en ce que l’on peut toujours inscrire dans la courbe un angle aussi approchant de deux droits qu’on voudra, ce qui ne peut se faire dans un polygone, où l’angle à la circonférence est le plus grand de tous ceux qui peuvent être placés entre deux côtés consécutifs.

Il suit immédiatement de cette condition, que dans une courbe quelconque, la limite du rapport de Parc à sa corde est üunité; car si l'on prend de chaque côté du point A [fig. 68), des cordes de plus on plus petites AB = AC, AB' = AC', etc., qu’on tire les droites BC, B'C, etc., qu'on abaisse sur ces droites les perpendiculaires AD, AD', etc., les triangles rectangles BAD, B' AD', etc., donneront

BC BD 'p.p -B'C' ■ B'D' AB-^AC~ AB“ AU'-t-AC'“ AB'

sin - B'AC', etc. ;

mais les angles - BAC, - B'AC', etc., tendant sans cesse à devenir droits, 2 2

leurs sinus approchent de plus en plus d’être égaux à l’unité : il en est de même des rapports des lignes brisées aux droites qui joignent leurs extrémités, assemblages de lignes qui s’approchent aussi de plus en plus de l’arc et de sa corde.

Il faut bien observer que ce n’est pas simplement parce que l’arc et sa corde diminuant, leur différence diminue, que leur rapport tend vers l’unité. Les eôlés d’un triangle rectiligne, par exemple, conservent toujours leur rapport, à quelque degré de petitesse qu’on les réduise, tant que les nouveaux triangles demeurent semblables au premier, et les différences de ces côtés décroissent aussi dans le même rapport ; mais il n’en est pas ainsi pour les arcs : ils s’aplatissent parce que l’angle inscrit s’ouvre à mesure qu’ils décroissent, et que les flèches AD, AD', etc., décroissent plus rapidement que les cordes BC, B'C', etc. Dans le cercle, par exemple, la flèche diminue comme le carré de la corde (Geo/w., i34). Il résulte de là que l’excès des arcs sur leurs cordes décroît aussi plus rapidement que ces droites. En effet, si l’on compare deux grandeurs A et a, qui diminuent indéfiniment, et que l’on pose A = «-+-iî, on verra que le rapport A (I I ^ ^

— = = 1 4- - no peut tendre sans cesse vers l’unité qu’autant que S

décroît plus rapidement que a.

On peut encore rattacher aux considérations précédentes sur les angles inscrits dans les segments des courbe.s, la propriété qu’a le rapport de l'ordonnée à la sous-tangonte, d’être la limite do celui des accroissements do l’ordonnée et de l’abscisse. En effet, trois points M^, M, M' (/%•. 69),

NOTES