I. L’équation devenant
= l(cosz + \/— I sinz),
lorsque l’on prend z = imif, fait reconnaître que l’unité a une infinité de logarithmes différents. On ne trouve zéro qu’en posant ni = o ; mais pour toute autre valeur entière, soit positive, soit négative de m, on obtient une expression imaginaire qui doit être regardée comme un logarithme de l’unité.
Cette proposition, qui semble un paradoxe, quand on n’assigne aux logarithmes qu’une origine arithmétique, en les déduisant de la comparaison des progressions (Pjilg.,%^^), devient naturelle quand on les tire de l’équation y=e‘. En effet, si l’on désigne par a l’exposant numérique
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NOTES
do la puissance ù laquelle il faut élever e, poui' produire la valeur assignée à^‘, el qu’on fasse æ; ar a-|-2, il vient
'e*"*"* = J , qui'se réduit à c* = i ,
à cause de c“=r. Mais l’équation e*= i, étant développée par la formule du n" 27, conduit à
qui se décompose dans les facteurs
-t- etc. = O,
î=o, iH 1 --l-etc. = o;
le premier est la détermination arithmétique du logarithme de l’unité, et le second contient les déterminations algébriques : ceci est à la théorie des logarithmes ce qu’est la considération des racines imaginaires de l’unité à la théorie des puissances {Èlém. (fjlg., iSg).
Les valeurs z = ■xm-rt i sont les racines du second facteur de l’équation <?•= I, et celles de l’équation sont a-(-2/«jrv/ — i, en sorte que l/=a-t-27«zry/^ I.
II. Pour déterminer ces racines, Euler, qui les a découvertes le premier, a employé un artifice d’analyse très-ingénieux, et qui repose sur la proposition démontrée dans le n° 188, d’après laquelle les racines do l’équation
aWTT /• . 2Wfr
r"— 1=0 sont r=cos hv*^>sin — — •
Il faut d’abord observer que
{ zN" Z «— iz’ {«— i)(n — 2)z’
a pour limite, lorsque n devient infinie.
-etc. = c‘.
z’ -l-etc.
Cela posé, l’équation c* — i = o pourra être remplacée par la limite de '6' <d. 11. '8
KOTEH.
ii4
cède,
et substituant i + - à /, on aura, par ce qui pré-
z ^nfK I + - = cos h
•xm-n ,
I sin :
puis prenant les limites relatives à la supposition de n inBnie, suivant laquelle cos et sin — ^ deviennent respectivement i et ^ ’ t'n concevant toutefois que /// demeure finie, on aura, comme ci-dessus,
"xtiiTt xniT^
Aûn de bien voir celle limite, il faut mettre pour cos — — et sin 1-
leur développement (37); et après les simplifications, il vient
Ani'v' , , f 81/i^iz^ \
Z— t-etc.-t-,/— I ( 2/«jr 5 — .4-etC.),
ce qui se réduit à z= anrry'— 1, lorsque /t est infinie. )
III. Il peut aussi n’être pas inutile de faire observer que la décomposition dcy“— I en facteurs, sur laquelle ce qui précède est fondé, s'obtient indépendamment des considérations du n“ 187 : voici comment Lagrange y est parvenu. " ^ •
Les équations
cos ( 22-1- I )z = cos 3 cos 22: — sin Z sin 223, cos(/2 — 1 )3= cos3Cos/23-l-sin3sin/2z, étant ajoutées, donnent
cos(/2-t- i)z-t-cos(/2 — I )z = acoszcoswz,
.d’où l’on lire
2C0S(/2-t- I )z= 2C0S3.2C0S 223 — 2 cos (/2 — I )s.
Posant ensuite
. . ^ 2CbS3=/-|-;|-,) ■ /.
et mettant les nombres i, 2, 3, etc., k la place de n, il viendra , 2COS23= 73*
2cos3z=
NOTES
d’où l’on conclura d’abord, par analogie, que a cos «Z = >•”-)-
Pour s’en assurer tout à fait, il sufiSt de voir que si la loi remarquée a lieu pour les nombres /j — i et n, elle aura pareillement lieu pour le nombre /»+ 1. Or, si l’on fait
acos(/i— i)z=y-'4--^j arosnz?=/‘4-4:> • . .
il en résultera
acos(«+i)z= (r + 7) (^"■'"7) ~ (•^'‘■'"3^) +
ce qui est encore la loi supposée, et prouve qu’en partant des valeurs n = I et /I = 2, elle s’étendra à tous les nombres entiers. •
11 suit de là que les équations
2C0SZ=>-H-i 2C0S«Z=
qui reviennent à - '
ajcosz-i- 1 = O, y’‘" — a r“ cos nz + i = o, ^ ont lieu en même temps, qu'elles ont par conséquent une racine commune. Mais si on la désigne par a, qu’on fasse ensuite / = et qu’on ré-
' duise tous les termes do chaque équation au môme dénominateur, on trouvera qu’elles sont vérifiées en môme temps par cette nouvelle valeur; et comme la première équation n’est que du deuxième degré, il en résulte qu’elle est un des facteurs de la seconde. ' . ,
Maintenant, si l’on prend ■'
- «Z = -Xm-K Jf- rj, -,
il viendra . '
cosnz — coso, z= ,
et par conséquent l’équation
aura pour facteur
r — avcos-
• 2 y” cos rî + I = O 2/iirr-t-S
quel que soit le nombre entier qu’on substitue à m : voilà donc la formule du n° 191. ,
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KOTES.
Pour en déduire celles du u" 190, il sulTil de faire J =r o et J ^ n-. Dans le premier cas, on aura • . - -
puis
COSiî=l, = — I )’,
>■* — I = O, jr — 2 >'ccs 1-1=0.
Dans le second cas,
cos5= — 1, I = (/"-)- 1 )’,
puis
. •. (a/H-l-ilir
^4-1 = 0, 2>cos — ■ — h< = o,
comme dans le numéro cité.
