IV. Au moyen de l’espression

Z = inrr i ,

des racines imaginaires de l’équation c* — i = o, oti explique plusieurs difficultés qu’offre l’application des logarithmes aux nombres négatifs, entre autres celle-ci ; puisque ( — «)’ = (4-a)’ = on doit en conclure que

1(— «)’=!«’, 2l(— <7) = 2l{-|-fl), d’où 1 (— «) = 1 (-l-rt);

mais la dèrnicre de ces conséquences ne s’accorde point avec l’équation j ; jamais aucune valeur réelle de x ne saurait rendre j négatif ; ainsi les nombres négatifs no peuvent avoir des logarithmes réels.

Cela est confirmé aussi par l’équation

1 = l(cosz-l-/— I sim),

dans laquelle il faut faire ï= i )cr pour obtenir cos s = — i, d'où

il résulte

1( — i);= (ani -i- I

et en désignant par a le logarithme réel do -+-rt, il vient - .

■ ■ 1( — «) = »4-l(— i) = a 4- ( 2/11 -t- i^irV — i ,

formule qui ne donne aucune valeur réelle, puisque m doit toujours être un nombre entier (188). , ' ^

Cependant il est vrai que les expressions 2l(4-n) et 2 1(— a) font partie de celles de l/d, mais sans pour cela être égales entre elles. En effet, a étant le logarithme réel de n, celui de sera 22, et tous les loga-

Digilizedby Can

NOTES

rithmcs(tant réels qu'imaginaires] de d- seront compris dans l’expression aa-|- anjjr V^, m pouvant être paire ou impaire. Dans le premier cas, 2/« sera un nombre doublement pair, et par conséquent l’expression- cidessus s’accordera avec . ,

■> ’ ^ a I ( -4-n) = aa -î- a.awTT p'— J ; ' . '

dans le second cas, le nombre im étant simplement pair, l’expression de I d s’accordera avec

al( — «) = aa-l-2(aw-i-i)7r v/— i; mais les expressions ■ '

aa + a.awTTp'— I, aa-|- 2 (a/«-t-i)w/— 1,'

ne sauraient s’accorder entre elles , puisque les nombres indiqués sont doublement pairs dans la première, et simplement pairs dans la seconde.

' NOTE C, indiquée sur la page 265. (Tome P’.) -,

- N’ayant considéré dans les n°* 2PJ et 220 que le cas où l’exposant « est entier et positif, je vais montrer 'ici ce qui arrive dans les autres cas, >

à l’égard desquels on a été longtemps dans une erreur que M. Poisson a relevée le premier ; mais comme il restait encore sur ce sujet quelques difficultés à éclaircir (uiy cileTr. ité in-4", t. III, p. 6o5 et 616), il donna lieu à beaucoup d’écrits, ([u’il serait trop long maintenant de citer en détail. [Voyez les Annales de Mathcmatupies , par M. Gergonne; le Bnlletin des Sciences . tnalliénialiqnes, par M. de Férussac; le Journal de M. Crelle, etc.) Je ne mentionnerai spécialement ici que les premières remarques faites en 1812, par M. Poisson [Correspondance sur F École Polytechnique, t. H, p. 12), les Recherches sur F Analyse des sections angulaires, par M. Poinsot, publiées en 1825, et les articles insérés par M. Poisson dans le t. IV du Bulletin des Sciences mathématiques, ijo et 344. , .

I. Si l’on changeait l’ordre des termes dans l’expression do cos z, d’où il résulterait 2"cosz”= -l-e''^^'', et qu'on développât suivant cet

ordre le second membre do l’équation ci-dessus, on trouverait

2" cosz“ =

et comme

NOTES

g-ou v'-i = COS «lï — I sin mz, ■

il viendrait - -

2" cosz" = C08//Z 4- - C08 ( « — 2 ) Z -I COS ( « — 4 ) S

- cos ( /? — 6 ) 2 -I- etc.

— I sin «3 -f-- sin (/t— 2)2+-

sin ( /ï — 4 ) ^

/^(/^— i)(ff — 2);.

sin'(/î — 6) r 4- etc.

ce qui ne diffère du développement écrit sur la page 261 (Tome P'^) qiie par le signe de ^ — i, en sorte qu’on a la double expression

( A ) 2" cos z" = Z ± Z V— ' !

dans laquelle

Z = cos«z4--cos(« — 2)z4 — — ^cos(« — 4)z4-etc., ^

” Z'= 8in«z4--sin(« — 2)z4- — ^sin (« — 4)^4- etc.

Quand le nombre n est entier, cosz" n’a qu’une soûle valeur qui est réelle: en égalant donc les deux précédentes, on forme l’équation

qui ne peut avoir lieu que lorsque Z'= o, circonstance vérifiée en effet dans lo n°219, et il s’ensuit que 2“cosz" = Z.

Mais quand n est un nombre fractionnaire, la quantité 2"cosz’‘ a des racines imaginaires, comme toute expression radicale, et il n’arrive pas toujours que ses racines réelles coïncident avec Z, si ce n’est dans quelques cas particuliers où Z' = o : c’est ce que M. Poisson a montré i>our le

cas où « = ^ et Z = w, 7: désignant la demi-circonférence.

Alors

Ki-O

Z = coS|7T 4-yCos ( jt: — 2B j-l — - cos I - 7: — 4^^ )

•etc.

^COSjTT , + 74

= cos 5 77 ( I 4- 1 )^ = 2’ cos- 77 = - J/a,

NOTES

à cause que cos 1 7r= i. Or ce résultat n’est pas exact, car cos n étant

— I, on a a^(cosw)* = — J'â. . ^ '

D’un autre côté , si l’on prend la délermination arithmétique do

2“(cosjt)“ , savoir (/—a, et qu’on la multiplie par les trois racines cubiques de l’unité

(Algèbre, i5<)),

il vient

O T / f*riB x»* ^r~ ( * — — 3) ^a * (* “1“ — 3) i^a

a »( cos «■)■> = — i/a ) ou ^ ou

et l’on voit que le nombre - ^2, obtenu plus haut, pour Z , n’est que la demi-somme des valeurs imaginaires.

Dans cet exemple, les expressions Z±’L'\f^\ donnent immédiatement les deux racines imaginaires, comme on peut le vérifier on observant que

sin -n mais de plus, chacune de ces expressions peut donner

lia

successivement les trois racines de a^ (cos tt)’, en y changeant jr en 3fiet en 5 n, arcs ayant môme cosinus.

Enfin 1a fonction toute réelle Z devient elle-même la valeur réelle —^2 quand on y fait a = 37t. ^