II. Passons à l’examen du cas général

( a cos 2)" = Z ± Z V— > ;

observons d’abord qu’il y a deux manières d’arriver aux diverses valeurs, soit réelles, soit imaginaires, que comporte le premier membre. On peut, dans les séries Z et Z', changer

2 en 2 -H ar, z htt , ■ .

ou bien prendre l’une quelconque des expressions Z± et la mul-

tiplier successivement par chacune des valeurs do (i)“ ; les résultats seront, les mêmes, mais l’ordre pourra être différent.

Pour appKquer le premier moyen, il faut chercher ce que deviennent tes séries Z et Z', lorsqu’on y change 2 en 2 + 2 rrr. On a, dans un terme quelconque, , . .

(n — 2/«) (2 -j-acTr) = (« — 2w) 2 4-a«/'n — 2 «i.arrr ; et comme les nombres m cl r sont entiers, on peut laisser de côté la [wrlic ’

NOTES

' im.%rn, qui exprime un nombre complet de circonférences ; il restera seulement l’arc (« — aw)z , dont le cosinus et le sinus seront,'

par les formules connues,

cos ( « — 2/n ) Z cos 2 /îCTt — sin ( /2 — 2to) zsin 2 «rrr, sin(/t — 2/m) zcos2/ir7r + cos(/? — 2 /m ) z sin 2 nr jr.

La première de ces valeurs donne, pour chaque terme de Z, une expression de la forme ,1

M cos (n — 2/// )zcos2MrïT — M sin (// — 2/M)zsin2//r7r, et la seconde, mise dans Z', produit

M sin (n — im )z 008 2/j/"7r -t-M cos ( n — 2mj)z sin inrit.

Cela posé, les facteurs cos mrtz et sin inri: conservant la même valeur dans tous les termes, on verra sans peine que Z se change en

Z cos 2//rw — Z' sin 2 «/•//,

Z' en

Z' cos 2 «/■"m -t- Z sin 2 M/-M,

et Z + l' <J—i on

Z CCS 2///-1T — Z' sin 2//r- -t-(Z'cos2/î/-ir 4- Z sin inrit) t/=T , . = (Z + Z'v/^) cos iLiirit -1- (Z v/~i — Z') sin mm,

= ,{7, -t- Z'/ — 1) ( cos 2 //rîT -I- v'^ — isin2«r?r), à cause que Z\/— I — Z'= (Z-i-Z'v/— 1). .

Si l’on écrit au lieu de /i, .on aura l’équation

(B) ^/2^‘ cos z'* = ( Z 4- Z' y/- , ) (^cos 4- sin

dont le second membre fournira v valeurs du premier, en prenant successivement pour r les nombres o, i, 2, . . . , v — i .

Pour avoir une idée plus précise de l’équation ci-dessus, posons z = o j ' alors

cos z= I, sin z = o,

d’où

t IL fl

Z =: (i -4- i)" = 2'’ , Z' = o, cl (i)‘' = cos-^~^“ 4-v^— I sin ,

comme il résulte des formules du n° 188.

On voit donc par là que l'équalion (A) conduit immédiatement au ré-

suHat que l’on déduirait do la considération des racines de l’unité élevée à la puissance -- ' ■ ' . ,

in. Lorsque parmi les valeurs de la fonction 7^^ cos s'* / il y en a une réelle P, dont on veut déduire toutes les autres, on pose

‘ et comme ces valeurs se tirent aussi de l’équation (B), il faut que parmi les nombres assignés pour r et r\ il s’en trouve qui rendent identiques en môme temps (B) et (C). Dans ce cas

„ 'Xrii.Tt . 2/*fJt7T ir'uTT

Z cos — !- Z' sm — !— = P cos tLUL ,

L C03 — -}- Z sin — = P sin —

Si ! on élimine alternativement Z et Z' de ces équations, et qu’on change en sinus et cosinus de la différence des arcs, les produits de leurs sinus et de leurs cosinus, on trouvera

(D) Z = Pcosl(^'--^'^f^^, Z’^Psin'ii:!-.:)/^", . .

d’où Pon déduira

cos — i ^

. . air' — r ) pir ’ Qin I U—

relations 'dont la dernière, étant indépendante de z, résout une difficulté que j’ai indiquée dans le Traité in-4°, t. III, p. 6i6.

Néanmoins, quoiqu’il ne contienne pas z, ce rapport n’est pas constant; mais il varie par intervalles, comme on va le voir en assignant des valeurs particulières à l’arc z.

Soit i°z = o; alors Z' = o, Z = P, puisque Z est la valeur réelle de la fonction radicale. Dans ce cas, la première équation (D) donne air' — r)un . .

I = cos — ' — ■■■ > ce qui exige que /•' = r, et vérifie la seconde.

a“ En posant z = tt, et prenant pour v un nombre impair, afin que

V' a''^ros TT (,)'*

ne soit pas imaginaire, la valeur de cotte expression sera 4-Va'“ ou

NOTES

— selon que /x sera pair ou impair. Dans la même hypothèse, les

arcs

ayant les mêmes sinus et les mêmes cosin\is, les fonctions Z et Z' reviennent à ■>

ft t

7 ptîT 7 •

a cos— ) a sini — j

et en mettant ces valeurs dans les équations (D), on arrive à