V.T ai/’' — r)u.Tz .un . a(r' — rluTt

cos— = cos— i — ) sin — =sin— ^

équations auxquelles on ne satisfait qu’en posant I— a(r' — r) ou r' —

Le développement de sin z” donnerait lieu à de semblables observations; mais il est inutile de s’y arrêter, parce qu’on l’obtient aussi par

la substitution de - — z.au lieu de z, dans celui de cos z". a

<2e qui précède montre suflisamment l’origine des diverses valeurs que prennent, suivant la nature de leur exposant, les fonctions cos z" et sin z"; mais la variété des formes données aux développements des fonctions circulaires et des méthodes employées pour y parvenir, ne permet («s d’en insérer le détail dans une simple Note : je renvoie pour cela aux ouvrages que j’ai cités, et je me bornerai à indiquer deux développements qui sont inverses de ceux des fonctions sin z" et cos z".

IV. Les formules du n" 187 donnent aussi des expressions simples et élégantes des sinus et des cosinus des arcs multiples. On a

. . cos I sin nz = (cos z -|-v/— i sin z)"î ’

cos nz — <J — I sin nz = (cos z — — » sin z)” ; en prenant la somme de ces équations, on en conclut

{cosz-l-i/— I sin z)" + (cos z — t/— i sin z)"

cos nz = ^ — — — y

et si l’on retranche la deuxième de la première, il vient

(cos z-h\/ — I sin z)" — (cos z V^— I sin z)* sin nz = z ^ ' ï —

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NOTES

expressions qui, quoique affectées d’imaginaires, n’en sont pas moins réelles, parce que ces signes disparaissent tous par le développement des puissances indiquées. En effet, on a >

(cos Z 4-/— t sin s)" = cos otts z""' sin z

cos z""’ sin z’ — etc.,

(cos Z — ^/^l sin z)" = cos z" — -v^— I cos z’~' sin :

■cosz""’ sin z’-)-etc..

et substituant ces séries dans les valeurs ci-dessus, on arrive ù

cos/iz =cosz

- cos z""’ sittz’

cos z"“' sin z‘ — etc.,

« „ , . « « — i)(rt — 2) ... ,

sin «z = -cosz"“' sm z tcosz’^’ sin z*

H 1 — - — — — cos z“-‘ Sin z' — etc.

NOTE D, indiquée sur la page 271. (Tome 1".)