I. Après les différentielles de la forme
Xd.r
dont les intégrales, dépendant des arcs de cercle ou des logarithmes, peuvent se calculer numériquement au moyen dos tables trigonométriques, on a considéré les différentielles suivantes : '■
^ Xd£
y/A + bx" E
dans lesquelles le radmal n’est encore que du second degré, mais contient jusqu’à la quatrième puissance de la variable. Comme dans le n° 183, ce radical peut être rais au numérateur ou au dénominateur, X désignant toujours une fonction rationnelle de x. En raison de la variété des formes qu’on |>eut donner à X, la différentielle proposée est susceptible d’une
I a4 . KOTES<
infinité de cas différents ; mais on peut les ramener à un petit nombre des plus simples.
Pour le faire plus facilement, il convient d’appliquer au radical une transformation qui fait disparaître les termes de degré impair. Bar et Dx*. On arrive à ce point de plusieurs manières, le Traité in-4°, t. II,
p. 48.)La plus simple est d’abord déposer x = ; et d’égaler à zéro
les coefficients de .r et de ^ sous le radical, qui par ce moyen prendra' la forme
on aura ainsi deux équations pour déterminer les quantités p cl '/. Alors la différentielle proposée sera
‘ ' Ydr ' ■
Y désignant une fonction rationnelle et paire de 7, et l’on démontre (dans l’endroit cité) que si, pour abréger, on représente le radical par R,
/Vdr
— pourra être ramonée à
Il La quantité « + py + 7.)', soumise au radical, pouvant être décomposée en deux facteurs réels de la forme c+fy et n + iy, revient à
ri si l’on fait - =
: - — /y®, oîi n'aura plus à traiter que la ilifférenlielle
Ydr
v/(i -4-yy) (>+'/y
(|ui pourra être convertie en série convergente, lorsque les deux constantes P et (J seront très-inégales, ou lorsqu’elles différeront [leu.
On a déjà vu un exemple du premier cas, dans lo n” 200, sur la ford.r v^i
mule •
qui devient
(1 -cLc^jd-r
lorsqu'on multi-
plie ses doux termes par Vi — c’x% et donne lieu à une série d’autant plus convergente que c est une plus petite fraction.
NOTES
Kt» général, soit f/’.)-* = -^-5-: la différentielle en »■ se changera en
Nd«
et on développera le facteur
suivant les puissances de la
fraction
Quand les valeurs de p et de q seront presque égales, la différentielle proposée s’écrira ainsi ; ' .
Ydr
Ydr
pi
en posant
\/(?+-”ïïF^
et alors on développera le radical suivant les puissances de S; le résultat sera d’autant plus convergent que S sera petit par rapport à r’-t-j’. Il y aurait à la vérité quelques cas d’exception; par exemple, si l’on avait P— y au lieu de et si la.-valeur de y était peu différente de
celle de r; mais ces détails ne sauraient trouver place ici.
11 suit de ce qui précède, que l’on faciliterait beaucoup l’approximation de l’intégrale cherchée, si on la préparait do manière à augmenter l'inégalité des coefficients p et 7, ou de manière à diminuer sans cesse leur différence : c'est ce qu’a fait Lagrange par uno méthode, la plus élégante peut-être qui soit sortie de la plume des analystes. Ne pouvant l’exposer ici {voyez le Traité in-4°, t.II,p. 77), nousdirons seulement qu’en
posant
‘ys/:
Ldu -t-
Lagrange obtient une transformée ül d»
dans laquelle L et M sont des fonctions rationnelles de et p > 7, inégalité qu’augmentera la répétition des mêmes procédés. Ainsi, dans ce qui précède il y a strictement tout ce qu’il fout pour calculer les intégrales proposées, lesquelles, comprenant comme cas particulier l’arc de l’ellipse (262), ont été nommées iranscead.intes elliptiques y arc de l’hyperbole en fait partie {264), tandis que celui de la parabole ordinaire ne dépend que des logarithmes (260).
XOTES. ,
ia6
m. Quoique les transcendantes elliptiques n’aient pu jusqu’à présent être exprimées par des fonctions primitives algébriques, ou logarithmiques, ou circulaires, on leur a néanmoins découvert des propriétés remarquables, analogues à celles qui établissent la relation des sinus ét des cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs de cercle, et qui mènent à la division de ces arcs : tel est l’objet d’une branche d’analyse portant sur la comparaison des transcendantes-, et pour en marquer l’origine, je partirai des fonctions logarithmiques. ~ ' '
-* - a (IjC
Si l’on ne connaissait pas la fonction qui est l’intégrale de — » on pourrait en découvrir les propriétés comme il suit. ■ •'
On poserait d’abord
dx dx , /*dx ,, . ràx ■
f étant la caractéristique d’une fonction inconnue ; et en indiquant l’intégrale des termes de l'équation différentielle dont les variables Sont séparées, on obtiendrait
(A) ’ ' ' . f(x)-l-ft^> = «,'
a étant une constante arbitraire. Mais quand on fait disparaître les dénominateurs de cette même équation différentielle, il vient jdx-i-xdjr=o, dont l’intégrale est ' '
(B) •rr=f>. .
Si, pour déterminer les constantes a et p, on faisait /= i, l’équation (B) donneraitx = p et l'équation (A) deviendrait f(P)-hf(i) = “i d’où f('^)-+^f(r)=/(P)4-f(i), et enOiÿ '
en remettant pour p sa valeur x/. ' ’
Pour savoir ce que c’est que f(i), il suffit de poser x = i +«, d’où
, /* drt-
j TT7,-
le développement de cette intégrale s’anéantissant quand u — o, montre que l’on peut supposer f(i) = o, et qu’alors
équation qui comprend toute la théorie des logarithmes. , - Passons aux fonctions circulaires; soit l’équation différentielle dx dr - ,
rrr -+- — r- = O •
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NOTES
représentons par r(.r) et f(7) les intégrales f ■ ■ — et C —=7=;
il viendra d’nbord
Or, de même que ci-dessus, il existe, entre les variables x et j, une équa-, tion algébrique qu'EqIer a trouvée le premier pour un cas plus général, et qui se r^uità ■ f '
pour celui' qui nous occupe. Ne pouvant entrer ici dans lo détail du calcul qui se rapporte à cette équation, je donnerai seulement la manière de la vérifier par la différentiation. On aura en premier lieu
ày Vice qui revient à
-dxv/7=y
1/ 1 — ar^
+ -7^=') (v/i-.r’-v/l-y-.rj) =0, , '
et donne par conséquent l’équaiion proposée , quand on sup|)rimo le second facteur qui ne contient point de différentielles.
Cela posé, quand on fait^= o, on a, par l’équation (B), x= p, et par l’équation (A),
^ ^ reconnaît tout de suite la '
possibilité de supposer f(o) = o. Il suit de là f(P) = «; et par conséquent
Si l’on fait f (ai) = r, f(/)= et qu’on désigne par f,la fonction inverse de celle que représente f, eu sorte que x=. f,(r), 7= f,(«), l’équation précédente deviendra
puis
ce qui est évidemment la môme chose que ■
sin(<-l-«)= sinr cosH-l-sinKCOsr.
> On aurait de même
NOTES
sin{r — «) = sin/cos« — sinacosr, - .
en partant de l'équation différentielle ■ • ,
dj; Ay ‘ ■
Ces formules, qui sont la base de toute la théorie des fonctions circulaires , conduisent aux expressions des sinus et des cosinus des arcs multiples d’un arc donné, lesquelles, par un simple renversement d’inconnues, fournissent l’équation d'où dépend la division de cet arc en parties égales. On en peut voir un exemple dans le n® 171 de la Trigonométrie, et il suffira , pour faire concevoir comment la résolution de certaines classes d’équations se lie avec la division d’un arc en parties égales.
Euler ayant trouvé aussi une équation algébrique qui satisfait à l’équation différentielle ,
dr
JdyV'i
\/ 1 — c’ siny'*
r dy
J (i +nsin(f’) \/ I — c’siny’
smiy J
v/À 4- B j; 4- Cx’ -t- 4- Ex‘ v^Â + Bj-l- C/’-I-Dt^’-I-E^*
a jeté les fondements de la comparaison des transcendantes elliptiques, à laquelle Legendre s’est appliqué avec un grand succès, dans une longue suite de recherches.
D’abord il en simplifia la forme, que Lagrange avait déjà ramenée à a q- x’ 7 X*
et montra que ces différentielles pouvaient toujours être exprimées par'
Qdy
v/i — c’siny' • '
an moyen de la transformation indiquée dans le n° 263 : il prouva ensuite qu’en les prenant dans l’état le plus général,’ on n’en tirait que les trois formules
irréductibles entre clics, et constituant trois espèces distinctes, la seconde étant l’arc d’une ellipse dont le grand axe == 1 , et l’excentricité = c.
Dans ce cas, le procédé de Lagrange qui opère la diminution continuelle
NOTES
de c, fait passer do l'ellipse proiiosée à d’autres dont l’oxcentriciid devient do plus en plus petite, et qui s’approchent sans cesse du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. (Voyez le Traité in-4“, t. Il, p. 176.) ‘
L augmentation successive du coefficient e mènerait, au contraire, à des ellipses de pfus en plus aplaties et s’approchant sans cesse de la ligne droite. ^
Pour la première espèce de transcendante, à l’équation différentielle
V>~c’siu^“ / 1 — c’sinJ/’
répondent les équations primitives
(B) cosf cos'l' — sinysiniji v'^i — c’sinp’= co8(t,
a et (t étant les constantes arbitraires; la seconde équation, qui est algébrique, détermine entre f et des relations analogues à celles des variables X y relatives au cercle (p. 127).
Nous ferons observer que la fonction f de l’équation (A) ne dépend que . de deux quantités, savoir : c qu’on nomme le module, et l’arc de cercle (p, qui désigne l’étendue ou XamplUude de la fonction.
La suite des valeurs correspondantes de c forme ce que l’on appelle une échelle de modules. La première qu’on ait connue est celle qui résulte de la transformation employée par Lagrange (p. laS). Legendre en a trouvé une seconde, et M. Jacobi ( de Kœnigsberg) a montré qu’il y en avait une infinité d’autres, dans lesquelles pourtant la première n’était pas comprise.
Sous ce point de vue, l’intégrale Ç -7==== qui exprime la trans-
J y/i — c’sin^p’
cendante de première espèce, est désignée par F (c, ç).
C’est de l’équation
.. dy (id'l<
' j/i — / ’sin Ÿ 1 — /l’ fin
que part M. Jacobi, dans scs recherches. Lorsqu’on intègre séparément chaque membre entre les mêmes limites, pt étant un nombre constant, on a
ce qui établit le rapport u entre deux fonctions elliptiques de première espèce , mais différentes par le module et l’amplitude. On peut remplir cette condition , on prenant pour le sinus de l’une des amplitudes une G* êd. II. Q
XOTES.
fonction rationnelle du sinus de l’autre, et dans les coefficients de laquelle est introduit un nombre qui, par les diverses valeurs qu’on peut lui assigner, donne les différentes échelles de modules : tel est le théorème principal découvert par M. Jacobi.
Pondant qu’il enrichissait de formules nouvelles la comparaison des transcendantes elliptiques, un géomètre suédois, Abel (de Christiania), qu’une mort prématurée a enlevé au milieu des plus grands succès , s’occupant aussi du môme sujet, trouvait de son côté les résultats énoncés plus haut, et d’autres qui lui appartenaient exclusivement.
Il change l’ordre des quantités, en regardant l’amplitude comme fonc- ' tion do l’intégrale, c’est-à-dire que désignant par u l’intégrale
\/ 1 — c^sinij
au lieu de
K = F(c, sin o), il pose y = A«,
étant la caractéristique de la fonction inverse de celle que représente F, et l’on a sin Ÿ = sinAtt. *
Pour bien concevoir en quoi consiste ce changement, il suffit de se rappeler l’échange fait plus haut (p. 127) entre l’arc de cercle et son sinus. D'abord, les arcs sont exprimés par leurs sinus, et ensuite c’est le sinus qu’on indique par son arc.
Les Mémoires d’Abel ont été insérés dans le Journal de Mathématir ques de M. Crelle; M. Jacobi a tiré des siens un ouvrage publié à part, en 1829, intitulé : Fumlamcnta nova Theoriæ fiinctionum ellipticarum, sur lequel M.- Poisson a fait, à l’Académie dos Sciences, un rapport enrichi de notes savantes, et dont elle a ordonné l’impression. [Fnyez le t. X de 1 ses Nouveaux Mémoires, p. 78.) '
IV. Outre les transcendantes elliptiques , il y en a encore deux genres auxquels Euler a donné une attention particulière, et qui sont entrés dans les recherches de Legendie : ce sont les formules
et
fàxx (ly,
qu’il a nommées Intégrales Euléricnncs [voyez le Traité in 4", t. 111, p. 421, 473). On a indiqué, dans le n° 43i, la propriété fondamentale de
l’intégrale J" dxl entre les limites zéro et l’infini, et le cas singu-
lier où
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NOTES
Ajoutons ici que le Traité des fonctions elliptif/iws, par LegomJro, contient des tables trôs-complôles pour calculer les valeurs numériques de ces fonctions.
Le rapprochement de tout ce qui précède doit faire connaître les points principaux des recherches auxquelles donne lieu le classement des diverses transcendantes, et comment des intégrales dont l’expression indéfinie ne saurait être obtenue dans l’état actuel de l’analyse, prennent des valeurs assignables entre certaines limites, et manifestent des relations plus ou moins simples lorsqu’on assujettit à des progressions particulières les valeurs successives de leur variable.
NOTE E, indiquée sur les pages 3i3 et Sîtj. (Tome I"'. )
I. On a vu, dans le n“ 271, que le résultat des intégrations successives, par rapport à deux variables, ne dépendait pas, en général, de l’ordre dans lequel ces deux intégrations étaient effectuées r on peut aussi so rendre compte do cette -circonstance, en considérant les intégrales commodes sommes d’éléments, au moyen de l’expression donnée dans la note de la page 277 du tome I". En effet, soitl’intégrale double //zdard/oùz = f(a?,/), et ayant pour limites a et n' par rapport à j, bel b' par rapporté/; commençons par l’intégration relative à x, et posons n' = a -)- « a; mais, pour abréger, écrivons i{nt,x) au lieu de f(n-|-ma,/); nous aurons , d’après la note citée,
J" zdx = a[f(o, /)-f-f(i, /) -t-f(«— I,/].,
Multipliant enluito par d/ tes deux membres de cette équation , et intégrant depuis / = è jusqu’à/ = b', en faisant b' = b+pa,\xn terme quelconque a/d/f(m,/) du second membre donnera
a’[f(m, o)-+-f(«i, i)’-t-f(m,2) +((in,p— i],
et il en naîtra, pour le développement complot,
I I zd.rd/ ''b
NOTES
OÙ chaque ligne représente une intégrale relative à x, et chaque colonne, une intégrale relative à Si l’on renversait l’ordre des intégrations , les colonnes prendraient la place des lignes, et réciproquement ; il n’y aurait de changé que l’ordre des substitutions ; car dans le premier cas, on commence par substituer à x ses diverses valeurs, et l’on ne met qu’ensuite celles dej, tandis qu’on fait évidemment le contraire dans le second cas. Or, cela ne change rien en général à la valeur des termes du dernier développement, puisque f(x, y) doit toujours rester la même, lorsqu’on y met pour x et j les mêmes valeurs, dans quelque ordre que s’effectuent les substitutions.
II. Il y a pourtant à cela une exception, lorsque ces valeurs rendent f(x,/) indéterminée, en la faisant passer par l’infini. C’est sur la fonction
^ que M. Cauchy a d’abord fait cette remarque. Quand on y suppose simultanément X = O, o, elle devient entièrement indéterminée, comme celle qu’cqi a considérée dans le n° IS4 (vo/ez aussi le Traité in-4°, t. I, p. 357-36o et 607 ) ; mais si l’on n’opère les substitutions que
1 une après l’autre, en commençant par x = o, on trouve^ = ce qui devient 4- infini, lorsqu’on y faitj'=o; et dans l’ordre contraire, il vient
jpS I
d’abord — p- = — • p, que la supposition de x = o change en — infini ;
mais la différence des deux résultats cesse dès que l’on ne considère plus X et J comme rigoureusement nuis : il n’y a donc qu’un seul élément qui prenne deux valeurs, celui qui répond à x = o, y = o; et ce qu’il faut
bien remarquer, c’est que la fonction devenant alors infinie,
fait prendre à cet élément une valeur finie qui influe sûr celle de l’intégrale proposée ; aussi arrive-t-on à deux résultats différents, suivant Tordre dans lequel on effectue les intégrations.
Pour s’en assurer, il faut remarquer que si Ton fait
il vient
Il — arc ^tang = ,
à II >' Au X
dx x’-|-)’’ d r ~ x’+^-’’
cl^// ^
11 suit de là qu’en commençant par l’intégration relative à x, on a en général
NOTES
et depuis x = a jusqu’à x = n\ on obtient a' a
Passant ensuite à
C^u, " /• (^Ar r «(])• .
— arc ^tang = — arc ^lang = î
et les limites de cette nouvelle intégration étant b et b', on trouve pour dernière expression
^tang= — arc ^tang = — arc^lang= 4-arc^tang =
Quand on procède dans l’ordre inverse , on a successivement
arc
/• . . CA'u . d/c
J~ ' J dxdx ^ du: ■ x’
/’d«. rb'dx Ç bdx
“ dx ^ ~ J b'^ + x^ b’+x’
■ (tang = + arc ^lang = ,
= — arc I
et enün
— arc ^lang = 4- arc ^tang = arc ^tang = — arc ^tang —
Il ne serait pas difficile de montrer que, dans leur état général, les deux expressions précédentes sont identiques; mais si l’on fait
limites entre lesquelles tombent x — o, o, et d’où il résulte
arc(lang= i)= arc{tang= — i) = —
on trouvera les valeurs
nnirn
TT it n n
qui ne sont pas égales, mais dont la différence est îtt. . • -
NOTES
à cause que
Si l’on voulait prendre x = o, y=o, pour les premières limites des intégrales cherchées, il faudrait faire d’abord o'= 4'= i, et la première expression deviendrait
^ — arc ( tang = b) — arc ^tang = + arc ^tang = ^ ,
ou bien
— ^ — arc(tang = ii) + arc(lang = a)-+-arc^tang = à cause que
arc ^tang= ^ — arc (tang = a).
Considérant alors ^ et é comme des quantités très-petites, et négligeant en conséquence les termes
arc { tang = a) , arc(tang = A),
il resterait — ^ + are^lang = expression qui devient indéterminée quand a et b sont nuis. Si Ton posait b = nia, on aurait
— ^-(-arc(tang = ai),
la quantité m pouvant varier de o à l’infini : dans le premier cas, le ré-
TT ÎT 7*
sultat est — - » et dans le second, -f- 7 > à cause que arc (tang = infini) = - ;
la différence entre ces deux valeurs est tt. On a trouvé d’abord a», parce que les variables x et y étant à des puissances paires, dans la fonction proposée, chaque intégration de — i à -+-i donne un résultat double do celui qu’on obtient de o à + 1 .
L’ambiguïté qu’oii vient de montrer n’aurait pas lieu pour les intégrales
prises dans les mêmes limites, quoique la fonction
SC présente sous la forme quand on y fait à la fois x = o, /= o, et
prenne deux valeurs différentes, suivant l’ordre des substitutions, parce que, CCS valeurs étant finies, elle n’a, dans cette circonstance, qu’un élément infiniment petit.
NOTES
III. La ciifférenco des valeurs obtenues en variant l’ordre des intégrations, ne venant que du seul élément placé à l’origine des variables, et x, M. Cauchy l'évalue à part, ce que l’on peut faire comme il suit.
Soit 1 expression générale de J’zdx, z devenant infini par des
valeurs de x et de /, comprises entre les limites a et a', bel b'-, en désignant par a la valeur de x, et par X- une quantité très-petite, l’intégrale
y* üdx, prise dans le petit intervalle de a — X à a-|-X, sera ?(“ + X-,7) — y{a — x-,j),
et dans l’intégration suivante, effectuée depuis /= b jusqu’à /= b', donnera la portion
d/[y(a-hX-,j') — (f(a — X-,r)],
qui approchera d’autant plus d’être celle qui correspond à un seul élément, que la valeur assignée à X- sera plus petite.
Dans l’exemple de l’article II, pour lequel
= “ = °. l’expression trouvée ci-dessus devient
C'aJ ^ -1- ^ i C'
= aarc ^tang = — ^arc ^tang = —
En faisant X- = o, pour passer à la limite, on a
aarc(tang= infini) — aarc(tang= — infini)
27T , air
= 1 = air,
précisément la différence trouvée dans l’article cité.
Les intégrales où l’on ne considère qu’un élément, ainsi qu’on l’a vu
plus haut pour J’ idx, ont été nommées, par M. Cauchy, intégrales singulières; les lecteurs qui voudront plus de détails sur ce sujet, les trouveront dans le tome I des Nouveaux Mémoires présentes à C Académie des Sciences, par divers Savants, p. 672.
IV. La différentiation sous le signe intégral n’a été considérée, dans la
NOTES
note de la page 329 du tomo 1", que par rapport aux intégrales indéfinies, et n'est complète pour les intégrales définies, que lorsque leurs limites ne varient pas. Quand le contraire a lieu, il se présente deux cas, selon que les valeurs extrêmes de la variable indépendante ne se trouvent pas comprises sous le signe /, ou qu’elles entrent dans la fonction soumise à ce signe : voici pour le premier.
Une intégrale étant équivalente à une somme d’éléments que l’on peut supposer aussi petits qu’on voudra (232), on voit sans peine que si les valeurs extrêmes représentées par « et 6 deviennent a + ùa b + Ab,
l’intégrale J Xdj; augmentera de l’élément A,dé, et diminuera de Âda,
ou, co qui est la même chose, deviendra
Xdx-f-Bdi-Ada,
fi étant mis pour A,, ou bien encore
f(x)dx -t-f(é)dé — f(o)da,
en représentant Xparf (a:), commedanslanote de la page 277 du tome 1".
Supposons maintenant que X comprenne en même temps les quantités a et é; alors le changement de a en a -f- da, et de t en ê -t- dê, donnera, au lieu de X, X-t-4— da-t-^r^dé, et si les quantités a et é da dé
sont des fonctions d’une troisième, y, on aura
