NOIE I
SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET DU CALCUL INTÉGRAL ( * ). ,
Üe la dérivée d’une fonction d'une seule variable.
1. Lorsque la valeur absolue ou le module d’une quantité variable décroît indéfiniment de manière à avoir zéro pour limite, on dit que cette quantité devient infiniment petite.
Lorsque le module d’une variable croit indéfiniment de manière à pouvoir surpasser toute quantité donnée, on dit que cette variable devient infiniment grande ou infinie.
Une fonction/(a?) de’ la variable x est dite continue pour les valeurs de x comprises entre les limites a et b, si pour chaque valeur de x comprise entre ces limites la valeur numérique de la différence
décroît indéfiniment avec h, c’est-à-dire devient infiniment petite en même temps que h.
Lagrange a nommé de la fonction/’( a?), la limite vers '
laquelle converge le rapport — - lorsque h tend vers zéro;
( *) Cette ?iQto a pour objet de compléter en divera potnU fondamentaux Tou* Trace de Lacroix, et de substituer des méthodes ricoiireuses à quelques démonstrations de Tuuteur qui nous ont pa*u insufflsaiitcs.
6® ctl. JI. lO
\OTE suit UE CALCUL DIFFEREYI'IEL
celle loculion a prévalu sur celle de coefficient différentiel, qui n’est plus usitée aujourd’hui. D’après la définition précédente, si l’on désigne par/' (a?) la dérivée de/(ar) et que l’on
la quantité « tendra vers zéro avec A, c’est-à-dire sera infiniment petite en même temps que A; on a, en multipliant la formule précédente par A,
à^f(x)=;:^hf{x) + lu.
La dérivée f" (x) do f [x) est dite dérivée du deuxième ordre def{x); pareillement la dérivée f" {x) de/"(ar) est la dérivée du troisième ordre de f[x), et ainsi de suite.
2. Théorème. Si f(x) désigne une fonction continue pour les valeurs de \ comprises entre deux limites a et b, et que la dérivée V (x) reste finie pour ces mêmes valeurs; si en outre Xo et X sont deux valeurs de x comprises entre a et b, et que l'on fasse X — Xo = mh, on aura
f{\)-fix,).
ni
pour\n=co, cest-à-dire
M étant la limite vers laquelle tend la moyenne arithmétique des quantités f'( x. ), f ( x, -I- h , f ( x„ -I- m — i h), lorsque h tend vers zéro.
On a, en effet,
f(x„+ h)—f[x,)= hf [x,) + hit,
/(ar.-i-aA) — /{x, -4- A) = A/'(x„-t- As,,
f(x,y-mh)^f[xi,-ym — i h) — hf [x^y- m— i A)-f-Ac„,
*1, s», . . ., s»i étant des quantités qui s’annulent avec A. Nous
ET LE CALCUL LVTÉORAL. l3g
désignerons jiar s la mojenne arithinélique de ces quanliics, ei par OIL la moyenne arithmétique des quantités f [x,),
f {x, + h), . . .,f + m — I h); on aura alors, en ajoutant
' les équations précédentes,
/(X) — /(^,) = mhOV, -hmht, ou
Si l’on fait tendre A vers zéro, t s’évanouit et OK se réduit à sa limite M ; on a donc
/(X)-/(ar.) = (X-x,)M; ce qu’il fallait démontrer.
3. ConoLLAiRE I. La fonction f(x) est constante entre les limites a et b, si sa dérivée est constamment nulle entre les mêmes limites. Dans le cas contraire, la fonction f{x) est constamment croissante si sa dérivée n’est jamais négative entre les limites a et b, tandis quelle est constamment décroissante si sa dérivée n est jamais positive entre les mêmes limites.
En effet, s\ f [x) est constamment nulle entre les limites a et b, OR. et M sont nulles; on a donc F (X) = f{xo). Ensuite, si la dérivée /'( ar ) n’est jamais négative sans être constamment nulle, OTL' etM sont positives, et par suite /(X) —f(x,) est de même signe que X — x,. Au contraire, ces deux différences sont de signes contraires, si la dérivée /' (x) n’est jamais positive, car alors Oit est négative, et il en est de même de M.
Corollaire II. La quantité M est comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs que prend f [x) quand x varie de Xo à X; par conséquent, si cette fonction est continue entre ces limites, elle passera par la valeur M pour une valeur de x au moins ; cette valeur, comprise entre x, et X, peut être représentée par Xo -f- 0 {X — Xo), en désignant par 6 une quantité comprise entre o et i. Dans celte hypothèse, on a donc
lO.
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l4o VOTE SCR LE I^LCUL DIFFÉRESTIEL
Formules de Taylor et de Maclaurin
4. Lemxe. Soit f(x) une fonction qui reste finie et continue, ainsi que ses n — i premières dérivées f' (x), f"(x), . .
pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites a e/ a + h; si l’on a
et que la n'^“* dérivée f" (x) reste finie et ne change pas de signe quand x varie </e a A a + h, la fonction f{x ) sera de même signe que lrf"{x) pour toutes les valeurs de x comprises entre les mêmes limites a a + h. '■
En effet, supposons, pour fixer les idées, que l’on ait .
/("/"(jr) >■ ou = O, ^ ■'
pour toutes les valeurs de x comprises entre a et a-+- A; la fonction A"/*-' (a:) sera croissante (n”2); et, comme elle s’annule poura:=:a, elle aura le signe de h pour les valeurs de X comprises entre a et a -t- A ; en conséquence le quotient de sa division par A sera positif, et l’on aura
pour toutes les valeurs de x comprises entre a eta-+-A. En raisonnant sur cette inégalité comme on l’a fait sur la précédente, on trouvera
et en poursuivant de la même manière, on aura successive- , ment
pour toutes les valeurs de x comprises entre a et « -t- A.
11 est clair que le même raisonnement prouve que si l’on avait h’f" { )< ou = o, on arriverait à f[x)<C.o; ce cas se ramène au précédent en remplaçant /(x)par —f{x),
5. Corollaire. Soit F( x ) une fonction qui reste finie et continue, ainsi que ses n — i premières dérivées pour toutes les valeundex comprises entre à et li; si l'on détermine deux
Digtliz.<îd l5y Goôgk
ET LE CiLCOL HTr^GBAL. l4l
fonctions ^ ( x ) et -^(\) ayant cette même propriété, telles en
outre que l’on ait 1 ■
.. ■ ÿ"”' (a) = (rt) = F"“' (a),
et ~ •
/«* ly" (x) A" F'‘(ar) A* i}>* (x),
pour toutes les valeurs de x comprises entre a et a + h, oii aura aussi pour les mêmes valeurs de x,
et, par conséquent,
(l) F(x) = If fl [ij/(a:) — ÿ(^)]>
(1 désignant une certaine quantité comprise entre o et t.
La démonstration de ce (forollaire est contenue dans l’énoncé même du lemme précédent, où il suffit de faire successivement/(a:) = F {x) — f (x) et/{x) = ij/ (x) — F(x).
6. Formules de Taylor et de Maclaiirin. Ces formules ont pour objet d’approcher de la valeur d’une fonction quelconque - par le moyen d’une fonction entière ou d’un^polynôme. La solution de ce problème est donnée de la manière la plus simple par l’équation
•• qu’on obtient en faisant x = a + h dans l’équation ( i), et dans laquelle les fonctions <p (x) et ^[x) sont assujetties aux condi-, tiens imposées par l’énoncé du corollaire précédent.
Il ne faut pas oublier que notre formule suppose que la fonction F (x) reste finie et continue, ainsi que ses n — i prémières dérivées pour les valeurs de x comprises entre a et a-y^/i, et en outre que la dérivée reste finie pour ces mêmes valeurs.
Cela posé, nous prendrons pour f(x) et pour ^ (x) deux poly-
