ET LE CALCUL INTEGRAL

remettant ensuite a: 4- A au lieu de z, on a l'expression suivante du reste que nous avons^désigné par R„ au numéro précédent, >

R„= F»(ar+9A).

' Cette nouvelle expression a été donnée par Cauchy; 0 y désigne, comme dans la première, une quantité comprise entre o et i . En faisant a: = o et écrivant ensuite x au lieu de A, on a l’expression suivante du reste de la série de Maclaurin

Sur la dijférentiation des fondions transcendantes,

8. Lacroix fait usage des séries pour la recherche des diffé- ’ rentielles des fonctions exponentielle et logarithmique; on peut arriver aux mêmes résultats par une méthode plus simple et plus rigoureuse que nous allons indiquer.

Lerme. Si l'on désigne par c la limite de la série conver-

l’expression

pour limite le nombres, lorsque la

quantité m tend vers Vinjini.

Pour démontrer cette proposition, nous supposerons d’abord que le nombre m tend vers l’infini en ne prenant que des valeurs entières et positives. On a alors, par la formule du binôme relative à l’exposant entier et positif.

NOTE SUE LE CAIXl'L UIFF^BEKTIEf

\ ni / I 1.2

R. désigne la somme des termes du développement qui suivent le ( /H- 1 et l’on a

la somme contenue entre crochets est composée d’un nombre limité de termes, etceux-ci sont évidemment moindres que les termes qui occupent le même rang dans la progression géométrique illimitée

qui a pour somme - ; la somme entre crochets qui forme le

dernier facteur de R„ peut donc se représenter par -» 0 étant une quantité comprise entre o et i ; on aura d’après cela

\ m/ I i.îx 1.2.3

\ mj \ ni f 0 \ ni / \ m J

Supposons maintenant que, n restant constant, on fasse croître indéfiniment l’entier m, on aura, à la limite.

0 désignant comme 0 une quantité comprise entre o cl i. Cela pose, si l’on fait croître indéfiniment le nombre n, la quan-

tue -