ET I.E CALCUL INTEGRAL

tendra vers zéro, et l’on aura

lim ( I-+- — ) = I - H — ' 1 î— -

\ rn ,1 I I . a i . a . c

La proposition qui vient d’être établie a lieu encore si m tend vers l’infini en prenant des valeurs positives quelconques. En effet, désignons par (x et + 1 les deux entiers entre lesquels ni est compris, (x sera une variable qui tendra vers l’infini en même temps que m. Or on a

fx -h l

les quantités ^i-t- ~ ^ pour limite;

I H î — et I -h - tendent vers l’unité: donc l’expression

|x-|-l fx

^14- est comprise entre deux quantités qui ont e pour limite, et l’on a, en conséquence,

- ■ - lim I iH I =e.

\ mj

Enfin la même chose a lieu si m tend vers l’infini négatif; en effet, si l’on pose m = — fx, (x tendra vers -1- » ; or on a

et puisque les facteurs ( i (- — '■ — b et i 4 — tendent

\ (X - I ' fX - I

l4S NOTE SDK LE CALCUL DIFFERENTIEL

respeclivement vers les limites e et i , on aura encore

' lim

• ( ' im iH = I

9. Supposons maintenant qu’on demande la dérivée de la fonction a*; en donnant à x l’accroissement A, on a

d’où

Posons

AO* .a* — I

«* — I = — » d’où h = - m

log(^^

loga

la quantité ira tendra vers l’inflnl, quand A tendra vers zéro, et l’on aura

Ao*

loga

>log(.+ ^) log(, + l)'"> faisant tendre A vers zéro et remplaçant ( ■ + ~ ) sa li-

mite e, on a

A à* rfo* loga

les logarithmes sont Ici pris dans un système quelconque. Si l’on adopte pour ce système celui dans lequel la base est e et que l'on nomme système de Neper, on aura log e'= i, et par suite

.^ = a*loga, ou </o*= a* log af/x.

Si a = e, on a

de^ . ,

-J =e‘, ou de* =.e‘dx.