X" XX X

tend évidemment vers zéro, car elle est

un produit dans lequel les facteurs supérieurs à i en valeur absolue sont en nombre, limité, tandis que le nombre de ceux qui sont inférieurs à i et même à une quantité quelconque donnée, peut devenir plus grand que tout nombre donné. On aura donc, pour toutes les valeurs de x.

Posons en second lieu

F (.*■)= cos j: + >sinx, X elanl une constante; on aura

F'*' {x} = cos ^ar-(^(ji^^H-Xsin

Digilizeq by Gopglc

ET LE CALCEI. INTÉGBAL.

et, pour x = o,

Le reste R„ est ici

•;-^5^[cos(o^+Ç)^Xsin (ex+Ç)],

et il tend vers zéro quand-n augmente indéfiniment, pour la même raison que dans le cas précédent; on aura donc

cosx + Xsinx=n-if—^X-Î^H fL- ,

d’où l’on tire

cos X = t 1-

sin X =

formules qui subsistent pour toutes les valeurs de x.

12. Soit maintenant F (x) = log ( I +x), la caractéristique log désignant un logarithme népérien. On a

I +xy .

(-ir-'.i.2... (pi-i)

et, pour x = o,

Ffx) = o, F^(x)=i, F"(x)=— I, F“'(x) = -t-i.2,..., F''(X)=(— 1)''-' I.2...((i— l).

On aura donc

Iog(. + a;) = ----|--

..voyons ce que devient R„ quand n tend vers l’infini.

l5a NOTE SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

Supposons d’abord la première expression du reste

donne ,

si X est inférieur à i ou égal à i , la (Vaction ne pourra

surpasser l’unité et par conséquent R, s'annulera pour « = oo ; on aura, en conséquence, , ■ ‘

log(i +x)=^

Si l’on a a; > I, la série qui forme le second membre de cette formule n’est pas convergente, et il est évident par cela même que la limite de R, ne peut être zéro.

Supposons maintenant x<^o et faisons x~ — z, on aura, en employant la seconde expression du reste.

on voit que si z est •< », la fraction ^ ^ - sera elle-même inférieure à Z, et R, s’annulera pour n = oo ; la formule (3) subsistera donc pour les valeurs de x comprises entre o et — i; cette formule n’est pas en défaut pour x— — i, puisqu’alors les deux membres deviennent infinis. Quant aux valeurs négatives de X au-deSsous de — i, il n’y a pas lieu de s’en occuper ici. <

On peut donner une forme très-simple à l’expression du reste de la série (3); effectivement, x était compris entre o et i, les termes de la série (3) sont alternativement positifs et négatifs; en conséquencel’erreur commise, en s’arrêtant à un terme quelconque, est moindre en valeur absolue que le premier des termes négligés et elle a le signe de ce terme. On peut donc écrire '

, X oc^

(4) log(l-t-x)= 1 1-(— i)"”' h( — 1)"6— >

6 désignant une quantité comprise entre o et i; cette expression du reste se déduit facilement de celle donnée plus haut.