ET LE CALCUL INTEGRAI
Supposons en second lieu que x soit négatif, ou plutôt changeons x en — x dans la formule (3) qui devient
•3C xf"
log ( t x) — - — -H...; la somme des termes qui suivent
le {/I 1/ savoir “r - — H - est positive et inférieure
^ . Ht Tt I
® c’est-à-dire inférieure à , ^
peut donc écrire
; on
(5) — log(l— jr) = --t-— -4- .
6 désignant encore une quantité comjjfise entre o et Formule du binôme. .
13. L’expression (i -t-a:)'" est susceptible d» plusieurs valeurs, sauf le cas où m se réduit à un entier positif ou négatif; mais si ar^est compris entre — i et oo , l’une de ces valeurs est réelle et positive, et c’est la seule que nous considérons. Soit
F(àr) = (i-|-ar)«,
d’où
F^(a;) = m(m— ftH- i)(i -f.a?r,
on aura, pour ar = o.
et, par suite,
:i, F/‘(ar)=: m(m— i). . .(w- fi-t- i),
Quand m est un entier positif, le reste R„ se réduit rigoureusement à zéro, si l’on y fait «= /n -4- i. Faisons abstraction de ce cas et supposons d’al^rd a^>o; on a, en employant la première forme du reste,
mx (m — 1) X ( m — 2 )x (m — re-t-i)x1
C' éJ. 11.
DigitL- by Googk
l54 NOTE SUE LE CALCUL DIFFÉRENTIEL
Si ar esl<; I, la quantité entre crochets tend vers zéro quand n tend vers rinPini; en effet, si l’on remplace n par «-f-i, celte
quantité acquiertle facteur
tend vers la limite— quand ;t tend vers l’infini. 11 s’ensuit que la quantité que nous considérons est un prodgii dans lequel les facteurs plus grands que i en valeur absolue sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux dont la valeur absolue est inférieure à i et même à une quantité quelconque comprise entre x el i, peut âevenir plus grand que tout
nombre donné. Quant au facteur ; — ; — » il peut se re-
duire à i si 6 tend vers la limite zéro, mais en aucun cas il ne surpassera l’unité. 11 résulte de là que R, tend vers zéro quand n tend vers l’infini, si x est compris entre o et i ; on aura donc, ^ dans cette hypothèse.
— ft)x ■ -i“ I
ou
