I -) qui

, , , , ni ni(in — i)

Si X est 1 , la série contenue dans le second membre de la formule ( i ) est évidemment divergente el il s’ensuit que R, ne peut tendre vers zéro quand n tend vers l’infini, s’ Supposons maintenant x<C.o el posons x = — z; en employant ici la seconde forme du reste, on a ^

mz /

Quand n tend vers l’infini, le facteur entre crochets tend vers zéro, si i est <; I, comme on l’a vu dans le premier cas; quant

au facteur — • — — I — — 1 > il tendra aussi vers zéro,

(i —Bz)--' \i — BzJ

à moins que 0 ne tende vers la limite zéro, mais alors sa valeur sera finie et au plus égale à mz. 11 résulte de là que R„ tend encore vers zéro, et en conséquence, la ‘formule ( i ) s’applique aux valeurs de x comprises entre o et — i ; dans le cas de ÆT ■< — i, la série ( i ) est évideinmenl divergente. r

. ’ ’ Digilizectby Gbogle

li. L’analyse précédente montre que la formule (i) subsiste pourtoutcslesvaleursdea^comprises entre — let + i; niais elle n'apprend rien à l'égard des valeurs limites — i et -t- i. Je dis que si la série ( i ) reste convergente pour ar = :+: i , la somme de celte série sera nécessairement égale à ( i it !)■"; en effet, les deux membres de la formule ( i ) étant égaux pour toutes les' valeurs de x comprises entre — i et + i , et chacun de ces membres tendant vers une limite déterminée, quand x tend vers lalimitedri, ces limites sont nécessairement égales entre elles. La formule (i) subsiste donc pour les valeurs limites •^1 et + pourvu que la série du second membre reste convergente; nous allons étudier ici cette série en elle-même, et rechercher les cas dans lesquels la convergence persiste pour r ==dr I.

En désignant par «„ le terme général de la série ( i ), on a

d’où

h; ( m — I . Am — ;i -f- a )

u„ -t- I m — rt -f- I

ni -t- * \

on voit que, dans le cas de a: = ± i , les termes de la série ( i ) croîtront indéfiniment en valeur absolue, à partir d’un certain rang, si m-f-i est négatif, et ces mêmes termes seront égaux entre eux si »n- i est nul ; il est donc nécessaire pour la convergence de la série que m ■+■ i soit positif.

Cela posé, quelques-uns des facteurs du numérateur de u„ peuvent être positifs; désignons par m — [t le premier de ceux qui sont négatifs, on pourra écrire

en prenant « supérieur à p, et en observant que, si m est négatif, il faut faire ^> = 0, puis remplacer par l’unité le premier facteur entre crochets.

Mais, d’après les formules (5) et (4), du n° 12, on a, pour ' 11.

l56 NOTE svn LE CALCUL DIFPÉBENTIEL

loule valeur de z comprise entre o et i

— log(i — ^ log(i + z) = z—^-^,

0 et 9' désignant des quantités comprises entre o et i, et la caractéristique log exprimant des logarithmes népériens. Si l’on représente par ^ l’un des nombres f» + i, fi 4-2, on aura, par les formules précédentes, en se rappelant que nous supposons m -f- 1 positif,

-log^i

/ni -H r\»

log

\ PJ P 2

et si l’on retranche ces équations l’une de l’autre, après avoir multiplié la seconde par m-h 1 , on aura

dans cette formule, le dernier facteur du second membre

est positif et il est inférieur à

+ I ; à plus forte

raison ce facteur est inférieur à