ET I.E CALCUL INTE6BAL

l’on ajoute les équations résultantes, on aura

= (m-t-i)log!-j^^

la somme

((*■+• ((* + ’•? (« — >)' se réduit à une série convergente quand n devient infini, car

la série

est, comme on le sait, con-

vergenle, elles quantités «, qui sont toutes positives, ne peuvent dépasser une limite que nous avons assignée. Désignant 'donc parlogSla limite de la série dont nous parlons, et par ç„ une quantité qui décroît quand n augmente, et quis’annulepour « = 00 , l’équation précédente pourra s’écrire comme il suit

= (m-H-i)log

— IogS-t-Iog(n-ç„),

ou, en revenant des logarithmes aux nombres,

-4-ïJ

La valeur de u, sera donc

c’est-à-dire

C désignant une constante indépendante de «, et ç, étant, 'comme nous l’avons déjà dit, une quantité qui décroît quand n augmente, et qui s’annule pour « =r oo .

l58 NOTE SUR LE CALCEL DIFFERENTIEL

Supposons maintenant que l’on ail a: = -+- 1 ; les termes de la formule du binôme sont, dans cette hypothèse, alternativement positifs et négatifs à partir d’un certain rang, et l’on voit, par la formule { 3 ), que ces termes décroissent indéfini- ment si m-f-i est positif; donc dans ce cas la formule ( i ) reste convergente. .

Supposons, en second lieu,a: = — i, la formule ( 3 ) montre que les termes de la formule du binôme décroissent comme

ceux de la série ^ î O’’» pou’’ fitie cette dernière série soit

convergente, il faut et il suffit que m soit positif; telle est donc aussi la condition de convergence de la série (i).

On voit, en résumé, que la formule du binôme subsiste :

1“ pour x = i, dans le cas seulement où m est compris entre — 1 et -i- » ; pour x = — i , dans lé cas seulement où m est

compris entre o et oo . Ainsi l’on aura

m mlm — i) in(in — i)(in — 2)